Determine as equações das retas tangentes e normal ao gráfico da curva , no ponto com , sendo , definida parametricamente pelas equações
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva no ponto onde . A curva está definida parametricamente por:
Então, a gente precisa usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas paramétricas, para achar as inclinações das retas e, a partir daí, as próprias equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Substituindo nas equações paramétricas:
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos achar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, usamos a derivada paramétrica , que é dada por:
Primeiro, vamos calcular e .
Passo 4
Calculando :
Agora, calculando :
No ponto :
Passo 5
Agora, usando :
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 6
Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Portanto, a equação da reta tangente é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então a inclinação da reta normal é o inverso negativo da inclinação da tangente:
Usando novamente a forma ponto-inclinação com o ponto :