Determine as equações das retas tangentes e normal ao gráfico da curva , no ponto com , sendo , definida parametricamente pelas equações

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva no ponto onde . A curva está definida parametricamente por:
Então, a gente precisa usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas paramétricas, para achar as inclinações das retas e, a partir daí, as próprias equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva quando . Substituindo nas equações paramétricas:
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a inclinação da reta tangente no ponto . Para isso, usamos a derivada paramétrica , que é dada por:
Primeiro, vamos calcular e .

Passo 4

Calculando :
Agora, calculando :
No ponto :

Passo 5

Agora, usando :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação da reta tangente e o ponto de tangência , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Portanto, a equação da reta tangente é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então a inclinação da reta normal é o inverso negativo da inclinação da tangente:
Usando novamente a forma ponto-inclinação com o ponto :
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é:

Resposta

As equações das retas são:
  • Reta Tangente:
  • Reta Normal:

Exercícios relacionados

Calcule nos seguintes casos:
(21.1)
Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.2) , no ponto de abscissa
Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
Determine a área limitada:
pelo laço de curva