Calcule
nos seguintes casos:
(21.2)
(21.2)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
, para as funções dadas:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções parametrizadas por uma variável intermediária
. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a relacionar as derivadas quando as funções estão expressas em termos de uma terceira variável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Como
e
estão em função de
, usamos a regra da cadeia:
Isso significa que precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Dada a função
, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, calculando
:
Com
, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para encontrar
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a segunda derivada
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
. Usamos novamente a regra da cadeia:
Sabemos que
.
Passo 7
Calculando
:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Finalmente, substituindo tudo na fórmula da segunda derivada:
Resposta
A segunda derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.3) , no ponto
(20.3)
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(a) Se quando
ao longo de toda reta que passa por
, então
.
(a) Se
Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da curva
, no ponto de abscissa
, sendo
, definida parametricamente pelas equações
Determine a área limitada:
pelo eixo e a curva de equações paramétricas
pelo eixo