Calcule d²y/dx² nos seguintes casos:
(21.2) {x = e^{-t}, y = e^{3t}}

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, , para as funções dadas:
Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções parametrizadas por uma variável intermediária . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a relacionar as derivadas quando as funções estão expressas em termos de uma terceira variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Como e estão em função de , usamos a regra da cadeia:
Isso significa que precisamos calcular e .

Passo 3

Calculando :
Dada a função , a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, calculando :
Com , a derivada de em relação a é:

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para encontrar :

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada . Isso significa que vamos derivar em relação a . Usamos novamente a regra da cadeia:
Sabemos que .

Passo 7

Calculando :
Sabemos que , então:

Passo 8

Finalmente, substituindo tudo na fórmula da segunda derivada:

Resposta

A segunda derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados