Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da curva C, no ponto de abscissa x0 = -1/4, sendo C, definida parametricamente pelas equações
x = 2 cos^3(t), y = 2 sen^3(t), t em [0, pi]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto onde a abscissa (o valor de ) é . A curva está dada de forma paramétrica pelas equações:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas de funções paramétricas, para achar a inclinação da reta tangente e, assim, determinar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de que corresponde à abscissa . A equação para é:
Queremos que , então:
Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Então, é o ângulo cujo cosseno é . Dentro do intervalo , esse valor de é:

Passo 3

Com , vamos calcular o valor de correspondente usando a equação paramétrica para :
Substituindo :
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente. Para isso, usamos as derivadas paramétricas:
Primeiro, calculamos e .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos nas derivadas:
Primeiro, e .
Então:

Passo 6

Agora, calculamos :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo:

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
Portanto, a equação da reta tangente é:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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