Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da curva , no ponto de abscissa , sendo , definida parametricamente pelas equações

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto onde a abscissa (o valor de ) é . A curva está dada de forma paramétrica pelas equações:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas de funções paramétricas, para achar a inclinação da reta tangente e, assim, determinar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de que corresponde à abscissa . A equação para é:
Queremos que , então:
Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Então, é o ângulo cujo cosseno é . Dentro do intervalo , esse valor de é:

Passo 3

Com , vamos calcular o valor de correspondente usando a equação paramétrica para :
Substituindo :
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente. Para isso, usamos as derivadas paramétricas:
Primeiro, calculamos e .
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos nas derivadas:
Primeiro, e .
Então:

Passo 6

Agora, calculamos :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 7

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo:

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
Portanto, a equação da reta tangente é:

Resposta

A equação da reta tangente é .

Exercícios relacionados

Calcule nos seguintes casos:
(21.2)
Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.3) , no ponto
Determine a área limitada:
pelo eixo e a curva de equações paramétricas
Calcule o limite abaixo, caso exista: