Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da curva
, no ponto de abscissa
, sendo
, definida parametricamente pelas equações
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva
no ponto onde a abscissa (o valor de
) é
. A curva
está dada de forma paramétrica pelas equações:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas de funções paramétricas, para achar a inclinação da reta tangente e, assim, determinar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
que corresponde à abscissa
. A equação para
é:
Queremos que
, então:
Dividindo ambos os lados por 2:
Agora, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Então,
é o ângulo cujo cosseno é
. Dentro do intervalo
, esse valor de
é:
Passo 3
Com
, vamos calcular o valor de
correspondente usando a equação paramétrica para
:
Substituindo
:
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente. Para isso, usamos as derivadas paramétricas:
Primeiro, calculamos
e
.
Para
:
Para :
Passo 5
Agora, substituímos
nas derivadas:
Primeiro,
e .
Então:
Passo 6
Agora, calculamos
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 7
Com a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo:
Passo 8
Vamos simplificar a equação:
Portanto, a equação da reta tangente é:
Resposta
A equação da reta tangente é
.
Exercícios relacionados
Calcule
nos seguintes casos:
(21.2)
(21.2)
Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.3) , no ponto
(20.3)
Determine a área limitada:
pelo eixo e a curva de equações paramétricas
pelo eixo
Calcule o limite abaixo, caso exista: