Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.3) x = t + sen(pi/2 * t) y = t + ln(t) dy/dx, no ponto t = 8

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações paramétricas:
onde . Queremos calcular a derivada e encontrar seu valor no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar usar a derivada de funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a . Vamos calcular e .
Para :
Para :

Passo 3

Agora que temos e , podemos encontrar usando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos substituir na expressão de para encontrar o valor da derivada neste ponto:
Primeiro, calculamos cada parte separadamente:
Agora, substituímos:

Resposta

A derivada no ponto onde é:

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