Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.3) , no ponto

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações paramétricas:
onde . Queremos calcular a derivada e encontrar seu valor no ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar usar a derivada de funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a . Vamos calcular e .
Para :
Para :

Passo 3

Agora que temos e , podemos encontrar usando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos substituir na expressão de para encontrar o valor da derivada neste ponto:
Primeiro, calculamos cada parte separadamente:
Agora, substituímos:

Resposta

A derivada no ponto onde é:

Exercícios relacionados

Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(a) Se quando ao longo de toda reta que passa por , então .
Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.3)
Calcule nos seguintes casos:
(21.2)
Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da curva , no ponto de abscissa , sendo , definida parametricamente pelas equações