Determine a área limitada:
pelo eixo
e a curva de equações paramétricas
pelo eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área limitada pelo eixo
, pelas retas verticais
e
, e pela curva definida pelas equações paramétricas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados a curvas paramétricas. Vamos precisar entender como calcular a área sob uma curva paramétrica e identificar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva paramétrica que temos. As equações são
e
. Aqui,
é o parâmetro que varia. Para determinar os limites de
que correspondem aos valores de
e
, vamos resolver para
:
Para
:
Para
:
Então,
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a área sob uma curva paramétrica. A fórmula para a área
é dada por:
onde
e
são os valores de
que definem os limites da área.
Vamos calcular
para nossa curva:
Passo 4
Agora substituímos
e
na fórmula da área:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Para , vamos usar a integração por partes duas vezes.
Para
Primeira aplicação da integração por partes:
Segunda aplicação da integração por partes para
:
Agora substituindo de volta:
Passo 6
Voltando à expressão original da área:
Calculando cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 7
Somando as duas partes:
Resposta
A área limitada é
unidades quadradas.