Determine a área limitada:
pelo eixo O x, x=1, x=e e a curva de equações paramétricas x = e^(2 t), y = 2 + t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área limitada pelo eixo , pelas retas verticais e , e pela curva definida pelas equações paramétricas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados a curvas paramétricas. Vamos precisar entender como calcular a área sob uma curva paramétrica e identificar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva paramétrica que temos. As equações são e . Aqui, é o parâmetro que varia. Para determinar os limites de que correspondem aos valores de e , vamos resolver para :
Para :
Para :
Então, varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a área sob uma curva paramétrica. A fórmula para a área é dada por:
onde e são os valores de que definem os limites da área.
Vamos calcular para nossa curva:

Passo 4

Agora substituímos e na fórmula da área:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 5

Vamos calcular cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Para , vamos usar a integração por partes duas vezes.
Primeira aplicação da integração por partes:
Segunda aplicação da integração por partes para :
Agora substituindo de volta:

Passo 6

Voltando à expressão original da área:
Calculando cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:

Passo 7

Somando as duas partes:

Resposta

A área limitada é unidades quadradas.

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