Calcule
sendo:
c)
c)
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Temos a equação
e queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é útil quando
está relacionado a
de forma indireta.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que, ao diferenciar termos que envolvem
, precisamos multiplicar pela derivada de
em relação a
(
).
Passo 3
Vamos diferenciar o primeiro termo
:
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos o exterior (
) que dá
, e multiplicamos pela derivada do interior (
), que é
.
Passo 4
Agora, vamos diferenciar o segundo termo
:
Usamos a regra do produto: derivamos
que dá
multiplicado por
, mais
multiplicado pela derivada de
. A derivada de
é
, já que
é função de
.
Passo 5
Vamos diferenciar o terceiro termo
:
Mais uma vez, usamos a regra da cadeia. Derivamos
que dá
e multiplicamos por
.
Passo 6
Agora, juntamos todas as derivadas e igualamos a zero (pois a derivada de uma constante é zero):
Passo 7
Vamos isolar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Passo 8
Finalmente, resolvemos para
:
Podemos fatorar
no numerador e
no denominador para simplificar:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
f)
f)
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
a)
a)
Calcule os limites:
e)
e)
Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada, sujeitos aos vínculos dados.
b)
b)