Calcule d/y d/x sendo:
c)

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos a equação e queremos encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é útil quando y está relacionado a x de forma indireta.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar cada termo da equação em relação a x. Lembre-se que, ao diferenciar termos que envolvem y, precisamos multiplicar pela derivada de y em relação a x ( ).

Passo 3

Vamos diferenciar o primeiro termo :
Aqui, usamos a regra da cadeia, onde derivamos o exterior ( ) que dá , e multiplicamos pela derivada do interior ( sen x), que é cos(x).

Passo 4

Agora, vamos diferenciar o segundo termo :
Usamos a regra do produto: derivamos sen x que dá cos(x) multiplicado por , mais sen x multiplicado pela derivada de . A derivada de é , já que y é função de x.

Passo 5

Vamos diferenciar o terceiro termo :
Mais uma vez, usamos a regra da cadeia. Derivamos que dá e multiplicamos por .

Passo 6

Agora, juntamos todas as derivadas e igualamos a zero (pois a derivada de uma constante é zero):

Passo 7

Vamos isolar os termos que contêm :
Fatorando :

Passo 8

Finalmente, resolvemos para :
Podemos fatorar cos(x) no numerador e no denominador para simplificar:

Resposta

A derivada de y em relação a x é:

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