Calcule os limites:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão . Aqui, estamos trabalhando com limites e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com seno e como aplicar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão . Quando
se aproxima de
, tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de zero, o que nos dá uma forma indeterminada
. Para resolver isso, podemos usar uma técnica chamada regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites dessa forma.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que se
dá uma forma indeterminada
ou
, então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:
desde que o limite à direita exista.
Passo 4
Vamos aplicar essa regra ao nosso limite. Aqui, e
. Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
.
Passo 5
A derivada de é:
Isso vem da regra da cadeia, onde derivamos a função seno e multiplicamos pela derivada do que está dentro do seno, que é
.
Passo 6
A derivada de
é:
A derivada de
é
e a derivada de uma constante,
, é zero.
Passo 7
Agora, aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
Os
no numerador e no denominador se cancelam, então sobra:
Passo 8
Agora, basta substituir
por
na função
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule
sendo:
c)
c)
Se as duas superfícies dadas interceptam-se numa curva, ache as equações da reta tangente à curva de intersecção no ponto dado.
f)
f)
Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada, sujeitos aos vínculos dados.
b)
b)
Ache o gradiente da função dada.
c)
c)