Calcule os limites:
e) lim x a sen x^2-sen a^2x^2-a^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Aqui, estamos trabalhando com limites e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com seno e como aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão . Quando se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de zero, o que nos dá uma forma indeterminada . Para resolver isso, podemos usar uma técnica chamada regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites dessa forma.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) dá uma forma indeterminada ou , então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:
desde que o limite à direita exista.

Passo 4

Vamos aplicar essa regra ao nosso limite. Aqui, e . Primeiro, vamos encontrar as derivadas de e .

Passo 5

A derivada de é:
f'(x) = cos(x^2) cdot 2x
Isso vem da regra da cadeia, onde derivamos a função seno e multiplicamos pela derivada do que está dentro do seno, que é .

Passo 6

A derivada de g'(x) = 2x é:
A derivada de é e a derivada de uma constante, , é zero.

Passo 7

Agora, aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
Os limx a sen(x^2) - sen(a^2)x^2 - a^2 = limx a 2x cos(x^2)2x no numerador e no denominador se cancelam, então sobra:
limx a cos(x^2)

Passo 8

Agora, basta substituir cos(a^2) por na função :

Resposta

O limite é .

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