Calcule
, sendo :
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
, onde
. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a derivação de funções exponenciais com expoentes que dependem de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a estrutura da função que temos. A função é uma exponencial onde a base é
e o expoente é uma expressão que envolve
. Para derivar uma função da forma
, onde
é uma constante e
é uma função de
, usamos a seguinte regra de derivação:
Aqui,
é o logaritmo natural de
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Aplicando essa regra à nossa função, identificamos que:
Então, precisamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Vamos derivar
. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
. Portanto:
Passo 5
Agora, substituímos tudo de volta na regra da derivada que mencionamos no Passo 2:
Passo 6
Podemos simplificar um pouco mais a expressão. Se quisermos, podemos fatorar o
no termo
:
Mas mantendo a forma anterior já está completamente correta.
Resposta
A derivada de
em relação a
é: