Estude o sinal da expressão: (x-3)/(x-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente estudar o sinal da expressão (x-3)/(x-2). Isso significa que a gente precisa descobrir para quais valores de essa expressão é positiva, negativa ou igual a zero. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções racionais e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde o numerador e o denominador da fração são iguais a zero, porque esses pontos vão nos ajudar a dividir a reta dos números em intervalos para analisar.
  • Numerador:
  • Denominador:
Esses valores são críticos porque a expressão pode mudar de sinal nesses pontos.

Passo 3

Agora, vamos usar esses valores para dividir a linha dos números em três intervalos:
Vamos analisar o sinal da expressão em cada um desses intervalos.

Passo 4

Vamos escolher um valor de em cada intervalo e ver se a expressão fica positiva ou negativa.
  1. Para (por exemplo, ):
    A expressão é positiva.
  2. Para (por exemplo, ):
    A expressão é negativa.
  3. Para (por exemplo, ):
    A expressão é positiva.

Passo 5

Além disso, vamos observar os pontos críticos:
  • Em , a expressão é zero porque o numerador é zero.
  • Em , a expressão não está definida porque o denominador é zero (isso é uma assíntota vertical).

Resposta

A expressão (x-3)/(x-2) é positiva para e para , negativa para , é igual a zero quando e não está definida quando .

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