Calcule , sendo : .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada de em relação a . Isso entra na matéria de Cálculo Diferencial, especificamente na regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Sabemos que é o mesmo que .

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é .

Passo 4

Vamos identificar as partes da função composta:
  • A função externa
  • A função interna

Passo 5

Primeiro, derivamos a função externa em relação a :

Passo 6

Em seguida, derivamos a função interna em relação a :
Aqui usamos a regra da derivada da função composta novamente, derivando o cosseno.

Passo 7

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando por :

Passo 8

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Identificar as regiões ou domínio nas quais os seguintes campos escalares estão definidos:
Calcule , sendo : .
Estude o sinal da expressão: e .
Descrever as superfícies de nível do campo escalar :