Descrever as superfícies de nível do campo escalar :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever as superfícies de nível do campo escalar . Isso faz parte da matéria de geometria analítica ou cálculo multivariável, onde estudamos como representar graficamente funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como identificar o tipo de superfície que a função representa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis, como , é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Isso significa que todas as combinações de , e que deixam igual a formam uma superfície no espaço.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Para encontrar a superfície de nível, colocamos :
Essa equação representa uma superfície no espaço para um valor fixo de .

Passo 4

Vamos analisar diferentes valores de :
  1. Se : A equação descreve uma elipsoide. Isso porque todos os termos são quadráticos e positivos, e a equação se assemelha à forma padrão de uma elipsoide:
A elipsoide é uma superfície fechada e simétrica em relação aos eixos coordenados.
  1. Se : A equação se torna . A única solução real para essa equação é , ou seja, apenas o ponto de origem .
  2. Se : Não existem soluções reais, porque a soma de termos positivos nunca pode ser negativa. Portanto, para , não há superfície de nível.

Passo 5

Resumindo, as superfícies de nível da função são:
  • Elipsoides para .
  • A origem para .
  • Nenhuma superfície para .

Resposta

As superfícies de nível de são elipsoides para qualquer constante , o ponto de origem quando e não existem superfícies reais quando .

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