Descrever as superfícies de nível do campo escalar
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descrever as superfícies de nível do campo escalar
. Isso faz parte da matéria de geometria analítica ou cálculo multivariável, onde estudamos como representar graficamente funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como identificar o tipo de superfície que a função
representa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Uma superfície de nível de uma função de três variáveis, como
, é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Isso significa que todas as combinações de
,
e
que deixam
igual a
formam uma superfície no espaço.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Para encontrar a superfície de nível, colocamos
:
Essa equação representa uma superfície no espaço para um valor fixo de
.
Passo 4
Vamos analisar diferentes valores de
:
- Se
: A equação descreve uma elipsoide. Isso porque todos os termos são quadráticos e positivos, e a equação se assemelha à forma padrão de uma elipsoide:
A elipsoide é uma superfície fechada e simétrica em relação aos eixos coordenados.
-
Se
: A equação se torna . A única solução real para essa equação é , ou seja, apenas o ponto de origem . -
Se
: Não existem soluções reais, porque a soma de termos positivos nunca pode ser negativa. Portanto, para , não há superfície de nível.
Passo 5
Resumindo, as superfícies de nível da função
são:
- Elipsoides para
. - A origem para
. - Nenhuma superfície para
.
Resposta
As superfícies de nível de
são elipsoides para qualquer constante
, o ponto de origem quando
e não existem superfícies reais quando
.
Exercícios relacionados
Estude o sinal da expressão:
e
.
Calcule
, sendo :
.
Calcule
, sendo :
.
Calcule
, sendo :
.