Calcule em termos de e , onde é uma função derivável dada implicitamente pela equação:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada onde é uma função de definida pela equação . O conteúdo que vamos usar aqui é diferenciação implícita, que é quando a função não está isolada. Precisamos lembrar das derivadas de funções logaritmicas e trigonométricas, além da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . A equação é:
Vamos derivar termo por termo.

Passo 3

Derivando : Sabemos que a derivada de é . Aqui, , então:

Passo 4

Derivando : A derivada de é . Aqui, , e é uma função de , então:

Passo 5

Derivando : A derivada é simples:

Passo 6

Agora, juntando tudo:

Passo 7

Vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A derivada é:

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Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
Calcule .
Calcular a derivada de cada uma das funções a seguir:
Calcule os limites a seguir usando a regra de L