Calcule
em termos de
e
, onde
é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas implícitas. A questão pede para calcular
em termos de
e
, onde
é uma função diferenciável definida implicitamente pela equação
. Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, então ao diferenciar termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia.
Passo 4
Diferenciando o lado esquerdo
:
Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
, onde
.
Primeiro, calculamos
:
Então, a derivada do lado esquerdo é:
Passo 5
Agora, diferenciamos o lado direito
:
Passo 6
Igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 7
Vamos isolar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 8
Distribuímos
e
:
Passo 9
Reunimos os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Passo 10
Fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 11
Isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que o multiplica:
Resposta
A derivada
em termos de
e
é:
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.
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