Calcule em termos de e , onde é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas implícitas. A questão pede para calcular em termos de e , onde é uma função diferenciável definida implicitamente pela equação . Para isso, vamos usar a técnica de diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma função de , então ao diferenciar termos que envolvem , precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 4

Diferenciando o lado esquerdo :
Usamos a regra da cadeia: a derivada de é , onde .
Primeiro, calculamos :
Então, a derivada do lado esquerdo é:

Passo 5

Agora, diferenciamos o lado direito :

Passo 6

Igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 7

Vamos isolar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 8

Distribuímos e :

Passo 9

Reunimos os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:

Passo 10

Fatoramos no lado esquerdo:

Passo 11

Isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que o multiplica:

Resposta

A derivada em termos de e é:

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