Calcule d/z dt nos seguintes casos:
(b) z = ln(1 + x^2 + y^2) ; x = ln(t) e y = e^t

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo: precisamos calcular a derivada de em relação a , onde , com e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia do cálculo, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que depende de e , e ambos e dependem de . Isso significa que para achar , precisamos considerar como muda quando e mudam com .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e e são as derivadas de e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  1. Derivadas parciais de :
  1. Derivadas de e em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Resposta

Substituindo e na expressão acima, temos:

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