As dimensões de uma caixa retangular são e , com possível de em cada dimensão. Calcule o valor aproximado do volume da caixa e o possível erro.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma caixa retangular com dimensões de , e . Cada uma dessas medidas pode variar até . Nosso objetivo é calcular o volume aproximado dessa caixa e descobrir qual pode ser o erro nessa medida.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre como calcular o volume de uma caixa retangular. O volume ( ) é dado pelo produto das três dimensões: comprimento ( ), largura ( ) e altura ( ). A fórmula é:
Para o erro, vamos considerar como pequenas variações nas dimensões afetam o volume total.

Passo 3

Vamos calcular o volume usando as dimensões fornecidas. Substituindo na fórmula:
³

Passo 4

Agora, vamos calcular o possível erro no volume. Cada dimensão pode variar até , então precisamos ver como isso impacta o volume total. Usaremos a fórmula do erro relativo para múltiplas dimensões:
Onde:
  • é o erro no volume
  • , , são os erros nas dimensões

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Agora, isolando :
³

Resposta

O volume aproximado da caixa é ³ e o possível erro nesse volume é de aproximadamente ³.

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Calcule as integrais abaixo
Calcule a diferencial das funções seguintes:
(a)
Considere as funções e , definidas por:
Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia e calcule as derivadas e .
Calcule nos seguintes casos:
(b) e