Calcule partial wpartial x e partial wpartial y nos seguintes casos:
(d) w=cos (xi+eta) ; xi=x+y e eta=raizx y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de w = cos(xi + eta) em relação a xi = x + y e eta = raizxy . O enunciado nos dá que:
onde:
Vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como partial wpartial x = partial wpartial xi cdot partial xipartial x + partial wpartial eta cdot partial etapartial x depende de partial wpartial y = partial wpartial xi cdot partial xipartial y + partial wpartial eta cdot partial etapartial y e . Como é uma função de e , e e são funções de e , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas separadamente.
Primeiro, derivadas de partial wpartial xi = -sin(xi + eta) em relação a partial wpartial eta = -sin(xi + eta) e partial xipartial x = 1 :
partial xipartial y = 1
partial etapartial x = 12(xy)^-1/2 cdot y = y2raizxy
Agora, derivadas de partial etapartial y = 12(xy)^-1/2 cdot x = x2raizxy e em relação a e :
Para :

Passo 4

Agora, substituímos todas essas derivadas na fórmula da regra da cadeia.
Para partial wpartial x = (-sin(xi + eta)) cdot 1 + (-sin(xi + eta)) cdot y2raizxy :
partial wpartial x = -sin(xi + eta) (1 + y2raizxy)
partial wpartial y = (-sin(xi + eta)) cdot 1 + (-sin(xi + eta)) cdot x2raizxy
Para partial wpartial y = -sin(xi + eta) (1 + x2raizxy) :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial x = -sin(xi + eta) (1 + y2raizxy)
partial wpartial y = -sin(xi + eta) (1 + x2raizxy)

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