Considere as funções f e g, definidas por:
f(x, y)=integralx^y ln (1+sen^2 t) d t e g(x, y)=integralx^x^2 y exp (cos t) d t
Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia e calcule as derivadas fx y e gx y.

Passo 1

Beleza, então temos duas funções definidas por integrais e precisamos encontrar as derivadas parciais mistas e . Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia para resolver isso. Precisamos entender como derivar funções definidas por integrais que dependem de várias variáveis.

Passo 2

Vamos começar com a função . Para encontrar , primeiro vamos achar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada parcial de fx = partialpartial x integralx^y ln(1 + sin^2 t) dt = -ln(1 + sin^2 x) em relação a é:
Explicando: quando a variável está no limite inferior da integral, a derivada traz um sinal negativo.

Passo 4

Agora, vamos derivar fxy = partialpartial y (-ln(1 + sin^2 x)) = 0 em relação a para encontrar :
Porque não depende de , sua derivada em relação a é zero.

Passo 5

Agora vamos para a função . Primeiro, encontramos a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 6

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo juntamente com a Regra da Cadeia. A derivada parcial de gx = exp(cos(x^2 y)) cdot (2x y) - exp(cos x) cdot 1 em relação a é:
Aqui, derivamos o limite superior em relação a , que dá , e o limite inferior em relação a , que dá 1.

Passo 7

Agora, vamos derivar gxy = partialpartial y (2x y cdot exp(cos(x^2 y)) - exp(cos x)) em relação a para encontrar :
A segunda parte, , não depende de , então sua derivada é zero.

Passo 8

Focando na primeira parte:
partialpartial y (2x y cdot exp(cos(x^2 y)))
Usamos a Regra do Produto:
2x cdot exp(cos(x^2 y)) + 2x y cdot (-sin(x^2 y) cdot x^2)
Explicando: a derivada de em relação a é pela Regra da Cadeia.

Passo 9

Simplificando:
2x cdot exp(cos(x^2 y)) - 2x^3 y cdot sin(x^2 y)

Resposta

As derivadas parciais mistas são:
fxy = 0 e gxy = 2x cdot exp(cos(x^2 y)) - 2x^3 y cdot sin(x^2 y)

Exercícios relacionados