Considere as funções e , definidas por:
Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia e calcule as derivadas e .

Passo 1

Beleza, então temos duas funções definidas por integrais e precisamos encontrar as derivadas parciais mistas e . Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia para resolver isso. Precisamos entender como derivar funções definidas por integrais que dependem de várias variáveis.

Passo 2

Vamos começar com a função . Para encontrar , primeiro vamos achar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada parcial de em relação a é:
Explicando: quando a variável está no limite inferior da integral, a derivada traz um sinal negativo.

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Porque não depende de , sua derivada em relação a é zero.

Passo 5

Agora vamos para a função . Primeiro, encontramos a derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 6

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo juntamente com a Regra da Cadeia. A derivada parcial de em relação a é:
Aqui, derivamos o limite superior em relação a , que dá , e o limite inferior em relação a , que dá 1.

Passo 7

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
A segunda parte, , não depende de , então sua derivada é zero.

Passo 8

Focando na primeira parte:
Usamos a Regra do Produto:
Explicando: a derivada de em relação a é pela Regra da Cadeia.

Passo 9

Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais mistas são:

Exercícios relacionados

As dimensões de uma caixa retangular são e , com possível de em cada dimensão. Calcule o valor aproximado do volume da caixa e o possível erro.
Calcule as integrais abaixo
Calcule nos seguintes casos:
(b) e
Calcule nos seguintes casos:
(d) e