Considere as funções
e
, definidas por:
Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia e calcule as derivadas
e
.
Passo 1
Beleza, então temos duas funções definidas por integrais e precisamos encontrar as derivadas parciais mistas
e
. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia para resolver isso. Precisamos entender como derivar funções definidas por integrais que dependem de várias variáveis.
Passo 2
Vamos começar com a função
. Para encontrar
, primeiro vamos achar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada parcial de
em relação a
é:
Explicando: quando a variável está no limite inferior da integral, a derivada traz um sinal negativo.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Porque
não depende de
, sua derivada em relação a
é zero.
Passo 5
Agora vamos para a função
. Primeiro, encontramos a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 6
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo juntamente com a Regra da Cadeia. A derivada parcial de
em relação a
é:
Aqui, derivamos o limite superior
em relação a
, que dá
, e o limite inferior
em relação a
, que dá 1.
Passo 7
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
A segunda parte,
, não depende de
, então sua derivada é zero.
Passo 8
Focando na primeira parte:
Usamos a Regra do Produto:
Explicando: a derivada de
em relação a
é
pela Regra da Cadeia.
Passo 9
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais mistas são:
Exercícios relacionados
As dimensões de uma caixa retangular são
e
, com possível de
em cada dimensão. Calcule o valor aproximado do volume da caixa e o possível erro.
Calcule as integrais abaixo
Calcule
nos seguintes casos:
(b) e
(b)
Calcule
nos seguintes casos:
(d) e
(d)