Considere duas funções reais
e
e sejam
e
. Admitindo a existência das derivadas envolvidas, deduza que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas funções: uma função
que depende de uma variável real
, e outra função
que depende de duas variáveis reais
e
. A gente define
e
. Nosso objetivo é mostrar como calcular o Laplaciano de
, que é uma combinação das segundas derivadas em relação a
e
. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais e entender como as derivadas de
e
se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. Para uma função
, o Laplaciano é dado por:
Então, precisamos calcular as segundas derivadas de
em relação a
e
.
Passo 3
Como
e
, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Primeiro, calculamos as primeiras derivadas de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as segundas derivadas. Para
, aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Da mesma forma, para
:
Passo 5
Agora, somamos as duas segundas derivadas para obter o Laplaciano de
:
Resposta
Então, deduzimos que:
Exercícios relacionados
Calcule
nos seguintes casos:
(d) e
(d)
Calcule
nos seguintes casos:
(b) e
(b)
Suponha que as funções
e
sejam deriváveis e que
.
(a) Se , mostre que
.
(a) Se
Estude a diferenciabilidade da função
, no ponto
indicado:
(g)
(g)