Considere duas funções reais e e sejam e . Admitindo a existência das derivadas envolvidas, deduza que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas funções: uma função que depende de uma variável real , e outra função que depende de duas variáveis reais e . A gente define e . Nosso objetivo é mostrar como calcular o Laplaciano de , que é uma combinação das segundas derivadas em relação a e . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais e entender como as derivadas de e se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Laplaciano. Para uma função , o Laplaciano é dado por:
Então, precisamos calcular as segundas derivadas de em relação a e .

Passo 3

Como e , vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Primeiro, calculamos as primeiras derivadas de :

Passo 4

Agora, vamos calcular as segundas derivadas. Para , aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Da mesma forma, para :

Passo 5

Agora, somamos as duas segundas derivadas para obter o Laplaciano de :

Resposta

Então, deduzimos que:

Exercícios relacionados

Calcule nos seguintes casos:
(d) e
Calcule nos seguintes casos:
(b) e
Suponha que as funções e sejam deriváveis e que .
(a) Se , mostre que .
Estude a diferenciabilidade da função , no ponto indicado:
(g)