Calcule
, onde
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular
, onde
. As funções que a gente tem são
e
. Isso envolve derivadas parciais e a regra da cadeia, que é um jeito de derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como
depende de
e
. A função é
. Para usar a regra da cadeia, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e a
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Para
, usamos a regra do produto:
Para
:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para
, temos:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
pelas funções dadas:
Substituindo na expressão:
Passo 6
Simplificando as expressões:
Passo 7
Distribuindo os termos:
Passo 8
Cancelando os
:
Resposta
Portanto, a derivada
é:
Exercícios relacionados
Se
for contínua em
, demonstre que
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região de limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno do eixo
, em torno do eixo
Calcule
e
, se
é definida implicitamente pela equação seguinte:
Determine a equação do plano tangente à superfície