Calcule , onde , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular , onde . As funções que a gente tem são e . Isso envolve derivadas parciais e a regra da cadeia, que é um jeito de derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como depende de e . A função é . Para usar a regra da cadeia, precisamos das derivadas parciais de em relação a e a :

Passo 3

Agora, vamos derivar e em relação a :
Para , usamos a regra do produto:
Para :

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para , temos:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Agora, vamos substituir e pelas funções dadas:
Substituindo na expressão:

Passo 6

Simplificando as expressões:

Passo 7

Distribuindo os termos:

Passo 8

Cancelando os :

Resposta

Portanto, a derivada é:

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Se for contínua em , demonstre que
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região de limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno do eixo
, em torno do eixo
Calcule e , se é definida implicitamente pela equação seguinte:
Determine a equação do plano tangente à superfície