Se
for contínua em
, demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se a função
é contínua em todos os números reais (
), então a integral de
de
até
é igual à integral de
de
até
. Estamos lidando com cálculo integral aqui, mais especificamente com a técnica de substituição para integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso é simplesmente a função
aplicada a
ao invés de
. Para mostrar a igualdade das integrais, vamos usar uma substituição de variável. Vamos definir uma nova variável
tal que
.
Passo 3
Com
, precisamos expressar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos mudar os limites de integração de acordo com a substituição. Quando
, então
. E quando
,
. Portanto, os novos limites de integração serão de
a
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Note que
virou
e
virou
.
Passo 6
O negativo diante de
pode ser usado para trocar os limites de integração. Isso porque:
Assim, eliminamos o sinal negativo invertendo os limites.
Passo 7
Finalmente, observamos que
é apenas uma variável de integração, então podemos renomeá-la de volta para
:
Portanto, mostramos que:
Resposta
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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região de limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno do eixo
, em torno do eixo
Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Calcule a área da região
Calcule
, onde
,
e
.
Calcule
e
, se
é definida implicitamente pela equação seguinte: