Se for contínua em , demonstre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se a função é contínua em todos os números reais ( ), então a integral de de até é igual à integral de de até . Estamos lidando com cálculo integral aqui, mais especificamente com a técnica de substituição para integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso é simplesmente a função aplicada a ao invés de . Para mostrar a igualdade das integrais, vamos usar uma substituição de variável. Vamos definir uma nova variável tal que .

Passo 3

Com , precisamos expressar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a , temos , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos mudar os limites de integração de acordo com a substituição. Quando , então . E quando , . Portanto, os novos limites de integração serão de a .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
Note que virou e virou .

Passo 6

O negativo diante de pode ser usado para trocar os limites de integração. Isso porque:
Assim, eliminamos o sinal negativo invertendo os limites.

Passo 7

Finalmente, observamos que é apenas uma variável de integração, então podemos renomeá-la de volta para :
Portanto, mostramos que:

Resposta

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região de limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno do eixo
, em torno do eixo
Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Calcule a área da região
Calcule , onde , e .
Calcule e , se é definida implicitamente pela equação seguinte: