Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região de limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno do eixo
, em torno do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de dois sólidos que são formados pela rotação de certas regiões limitadas por curvas específicas. Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por integração, utilizando métodos como o de discos e o de cascas cilíndricas. Vamos precisar entender bem as funções que delimitam as regiões e como elas se comportam em torno dos eixos de rotação.

Passo 2

Primeiro Volume: Rotação da região limitada por , , , e em torno do eixo .
Vamos começar identificando a região que vamos rotacionar. As curvas são:
  • : uma curva logarítmica que passa por (1,0) e cresce lentamente.
  • e : linhas horizontais.
  • : o eixo .
Primeiro, determinamos os pontos de interseção para saber os limites de integração.
A interseção de com :
Com :
Então, nossa região está entre e , entre e .
Como vamos rotacionar em torno do eixo , é mais fácil usar o método dos discos. A fórmula para o volume por esse método é:
Onde é a função que descreve o raio em função de .
Para , resolvemos para :
Então, .
Agora, definimos os limites de integração de a .

Passo 3

Aplicando a fórmula dos discos:
Integrando:
Então,

Passo 4

Segundo Volume: Rotação da região limitada por e em torno do eixo .
Primeiro, encontramos os pontos de interseção das duas curvas:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
Então, os limites de são de a .
Como estamos rotacionando em torno do eixo , vamos usar o método dos discos, onde a área do disco é dada pela diferença dos quadrados das funções.
A função de cima é e a de baixo é .
A fórmula para o volume será:
Devido à simetria, podemos calcular de 0 a 2 e multiplicar por 2:

Passo 5

Vamos expandir as expressões dentro da integral:
Subtraindo:
Então, a integral fica:

Passo 6

Integrando termo a termo:
Então,

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Para :
Para , todos os termos são zero.
Então,

Resposta

O volume total dos sólidos é:
  1. Primeiro sólido:
  2. Segundo sólido:

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