Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região de limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
em torno do eixo
, em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de dois sólidos que são formados pela rotação de certas regiões limitadas por curvas específicas. Para isso, vamos usar o cálculo de volumes por integração, utilizando métodos como o de discos e o de cascas cilíndricas. Vamos precisar entender bem as funções que delimitam as regiões e como elas se comportam em torno dos eixos de rotação.
Passo 2
Primeiro Volume: Rotação da região limitada por
,
,
, e
em torno do eixo
.
Vamos começar identificando a região que vamos rotacionar. As curvas são:
-
: uma curva logarítmica que passa por (1,0) e cresce lentamente. -
e : linhas horizontais. -
: o eixo .
Primeiro, determinamos os pontos de interseção para saber os limites de integração.
A interseção de
com
:
Com
:
Então, nossa região está entre
e
, entre
e
.
Como vamos rotacionar em torno do eixo
, é mais fácil usar o método dos discos. A fórmula para o volume por esse método é:
Onde
é a função que descreve o raio em função de
.
Para
, resolvemos para
:
Então,
.
Agora, definimos os limites de integração de
a
.
Passo 3
Aplicando a fórmula dos discos:
Integrando:
Então,
Passo 4
Segundo Volume: Rotação da região limitada por
e
em torno do eixo
.
Primeiro, encontramos os pontos de interseção das duas curvas:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
Então, os limites de
são de
a
.
Como estamos rotacionando em torno do eixo
, vamos usar o método dos discos, onde a área do disco é dada pela diferença dos quadrados das funções.
A função de cima é
e a de baixo é
.
A fórmula para o volume será:
Devido à simetria, podemos calcular de 0 a 2 e multiplicar por 2:
Passo 5
Vamos expandir as expressões dentro da integral:
Subtraindo:
Então, a integral fica:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Então,
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Para
:
Para
, todos os termos são zero.
Então,
Resposta
O volume total dos sólidos é:
- Primeiro sólido:
- Segundo sólido:
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Se
for contínua em
, demonstre que
Calcule
, onde
,
e
.