Determine a equação do plano tangente à superfície
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede a equação do plano tangente à superfície
no ponto
. Isso está relacionado ao cálculo de multivariáveis, especificamente à geometria de superfícies e planos tangentes. Para resolver, a gente vai precisar entender como encontrar o plano tangente a uma superfície implícita num ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para encontrar o plano tangente a uma superfície no ponto
, usamos a fórmula:
onde
é a função que define a superfície.
Passo 3
No nosso caso, a superfície é dada por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Substituindo esses valores na fórmula do plano tangente:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Passo 8
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é:
Exercícios relacionados
Calcule
e
, se
é definida implicitamente pela equação seguinte:
Calcule
, onde
,
e
.
Determine a taxa de variação (derivada direcional) de
, no ponto
, na direção do vetor
.
Determine os extremantes locais da função
.