Determine a equação do plano tangente à superfície
9 x^2 - 4 y^2 - 25 z^2 = 40, P = (4, 1, -2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede a equação do plano tangente à superfície no ponto . Isso está relacionado ao cálculo de multivariáveis, especificamente à geometria de superfícies e planos tangentes. Para resolver, a gente vai precisar entender como encontrar o plano tangente a uma superfície implícita num ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que para encontrar o plano tangente a uma superfície no ponto , usamos a fórmula:
onde é a função que define a superfície.

Passo 3

No nosso caso, a superfície é dada por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula do plano tangente:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:

Passo 8

Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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