Calcule
e
, se
é definida implicitamente pela equação seguinte:
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma função
definida de forma implícita pela equação
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
(
) e em relação a
(
). Para isso, vamos usar a diferenciação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
e
.
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , já que é tratado como uma variável independente. - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia).
Agora, diferenciando o lado direito
em relação a
:
- Usamos a regra do produto:
.
Passo 3
Montamos a equação com as derivadas:
Agora, vamos isolar os termos que contêm
:
Fatorando
:
Passo 4
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
diferenciando a equação original em relação a
:
Como
é tratado como independente de
,
. Então, a equação simplifica para:
Passo 6
Rearranjamos para isolar
:
Fatorando
:
Resolvendo para
:
Resposta
As derivadas parciais são: