Calcule zx e zy, se z = f(x, y) é definida implicitamente pela equação seguinte:
x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma função definida de forma implícita pela equação . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a ( ) e em relação a ( ). Para isso, vamos usar a diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de e .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , já que é tratado como uma variável independente.
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
Agora, diferenciando o lado direito em relação a :
  • Usamos a regra do produto: .

Passo 3

Montamos a equação com as derivadas:
Agora, vamos isolar os termos que contêm :
Fatorando :

Passo 4

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos encontrar diferenciando a equação original em relação a :
Como é tratado como independente de , . Então, a equação simplifica para:

Passo 6

Rearranjamos para isolar :
Fatorando :
Resolvendo para :

Resposta

As derivadas parciais são:

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