Calcule
dd t[r1(t) cdot r2(t)] e dd t[r1(t) times r2(t)]
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as fórmulas
dd t[r1(t) cdot r2(t)]=r1(t) cdot d r2d t+d r1d t cdot r2(t)
e
dd t[r1(t) times r2(t)]=r1(t) times d r2d t+d r1d t times r2(t)

Passo 1

Então, vamos lá! Você me pediu para calcular as derivadas em relação ao tempo de duas expressões envolvendo vetores: o produto escalar e o produto vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente as regras de derivação para produtos de vetores. Vamos precisar entender o que são produto escalar e vetorial, além das regras de derivação desses produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada do produto escalar a cdot b = ax bx + ay by + az bz . O produto escalar entre dois vetores é uma operação que resulta em um número (escalar) e é definido como:
Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto é a derivada do primeiro fator vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.

Passo 3

Aplicando a regra do produto ao produto escalar, temos:
ddt [ r1(t) cdot r2(t) ] = dr1(t)dt cdot r2(t) + r1(t) cdot dr2(t)dt
Aqui, e são as derivadas dos vetores em relação ao tempo, ou seja, suas velocidades.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada do produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor e é definido pela regra da mão direita, envolvendo componentes dos vetores.
A derivada de um produto vetorial também segue uma regra semelhante à do produto escalar, onde derivamos cada vetor individualmente mantendo o outro constante.

Passo 5

Aplicando a regra do produto ao produto vetorial, obtemos:
ddt [ r1(t) times r2(t) ] = dr1(t)dt times r2(t) + r1(t) times dr2(t)dt
Isso significa que a derivada do produto vetorial é a soma do produto vetorial da derivada do primeiro vetor com o segundo vetor mais o produto vetorial do primeiro vetor com a derivada do segundo vetor.

Resposta

Portanto, as derivadas são:
ddt[r1(t) cdot r2(t)] = r1(t) cdot d r2dt + d r1dt cdot r2(t)
e
ddt[r1(t) times r2(t)] = r1(t) times d r2dt + d r1dt times r2(t)

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