Calcule
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as fórmulas
e

Passo 1

Então, vamos lá! Você me pediu para calcular as derivadas em relação ao tempo de duas expressões envolvendo vetores: o produto escalar e o produto vetorial . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente as regras de derivação para produtos de vetores. Vamos precisar entender o que são produto escalar e vetorial, além das regras de derivação desses produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada do produto escalar . O produto escalar entre dois vetores é uma operação que resulta em um número (escalar) e é definido como:
Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto é a derivada do primeiro fator vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.

Passo 3

Aplicando a regra do produto ao produto escalar, temos:
Aqui, e são as derivadas dos vetores em relação ao tempo, ou seja, suas velocidades.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada do produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em outro vetor e é definido pela regra da mão direita, envolvendo componentes dos vetores.
A derivada de um produto vetorial também segue uma regra semelhante à do produto escalar, onde derivamos cada vetor individualmente mantendo o outro constante.

Passo 5

Aplicando a regra do produto ao produto vetorial, obtemos:
Isso significa que a derivada do produto vetorial é a soma do produto vetorial da derivada do primeiro vetor com o segundo vetor mais o produto vetorial do primeiro vetor com a derivada do segundo vetor.

Resposta

Portanto, as derivadas são:
e

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
b)
Obtenha a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto da curva.
25.
Sabendo que , calcule e .
(a) Obtenha a inclinação da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
(b) Obtenha as coordenadas do ponto que a reta
intersecta o plano .