Obtenha a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto da curva.
25.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de vetores para achar a reta tangente. Vamos precisar encontrar o valor de que corresponde ao ponto e depois calcular a derivada da função vetor nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que faz . A função vetor dada é:
Igualando aos componentes de :
Parece que houve um erro aqui. Vamos revisar:
Na verdade, ao resolver , temos duas soluções: e . Vamos testar ambas.
Para :
Não bate com .
Para :
Aí sim, bate certinho com . Então, .

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos calcular a derivada da função vetor em relação a , que é . A derivada nos dá a direção da reta tangente.
Calculando a derivada:
Agora, substituímos na derivada:
Esse vetor é a direção da reta tangente.

Passo 4

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever a equação vetorial da reta tangente. A forma geral da equação vetorial de uma reta é:
Onde é um parâmetro real. Substituindo os valores:
Ou, separando por componentes:

Resposta

A equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

Exercícios relacionados

Calcule , em que , .
Encontre a função que determina a distância de um ponto da curva ao eixo .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
b)
Calcule
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as fórmulas
e