Obtenha a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de
no ponto
da curva.
25.
25.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de vetores para achar a reta tangente. Vamos precisar encontrar o valor de
que corresponde ao ponto
e depois calcular a derivada da função vetor
nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
que faz
. A função vetor dada é:
Igualando aos componentes de
:
Parece que houve um erro aqui. Vamos revisar:
Na verdade, ao resolver
, temos duas soluções:
e
. Vamos testar ambas.
Para
:
Não bate com
.
Para
:
Aí sim, bate certinho com
. Então,
.
Passo 3
Agora que sabemos que
, vamos calcular a derivada da função vetor
em relação a
, que é
. A derivada nos dá a direção da reta tangente.
Calculando a derivada:
Agora, substituímos
na derivada:
Esse vetor
é a direção da reta tangente.
Passo 4
Com o ponto
e o vetor direção
, podemos escrever a equação vetorial da reta tangente. A forma geral da equação vetorial de uma reta é:
Onde
é um parâmetro real. Substituindo os valores:
Ou, separando por componentes:
Resposta
A equação vetorial da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Calcule
, em que
,
.
Encontre a função que determina a distância de um ponto da curva
ao eixo
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
b)
b)
Calcule
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as fórmulas
e