Obtenha a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de r(t) no ponto P0 da curva.
25. r(t)=t^2 i-1t+1 j+(4-t^2) k ; P0(4,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar a equação vetorial da reta tangente ao gráfico de no ponto . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de vetores para achar a reta tangente. Vamos precisar encontrar o valor de que corresponde ao ponto e depois calcular a derivada da função vetor nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de r(t) = t^2 i - 1t+1 j + (4 - t^2) k que faz t^2 = 4 Rightarrow t = 2 (considerando t > 0) . A função vetor dada é:
-1t+1 = 1 Rightarrow -12+1 = -13 neq 1
Igualando aos componentes de r(2) = (2)^2 i - 12+1 j + (4 - (2)^2) k = 4i - 13j + 0k :
r(-2) = (-2)^2 i - 1-2+1 j + (4 - (-2)^2) k = 4i + 1j + 0k
Parece que houve um erro aqui. Vamos revisar:
Na verdade, ao resolver , temos duas soluções: e . Vamos testar ambas.
Para :
Não bate com .
Para :
Aí sim, bate certinho com . Então, .

Passo 3

Agora que sabemos que r'(t) = ddt( t^2 i - 1t+1 j + (4 - t^2) k ) = 2t i + 1(t+1)^2 j - 2t k , vamos calcular a derivada da função vetor r'(-2) = 2(-2) i + 1(-2+1)^2 j - 2(-2) k = -4i + 1j + 4k em relação a , que é . A derivada nos dá a direção da reta tangente.
Calculando a derivada:
Agora, substituímos na derivada:
Esse vetor é a direção da reta tangente.

Passo 4

Com o ponto R(s) = P0 + s v e o vetor direção R(s) = lang<= 4, 1, 0 rang<= + s lang<= -4, 1, 4 rang<= , podemos escrever a equação vetorial da reta tangente. A forma geral da equação vetorial de uma reta é:
R(s) = (4 - 4s) i + (1 + s) j + (0 + 4s) k
Onde é um parâmetro real. Substituindo os valores:
Ou, separando por componentes:

Resposta

A equação vetorial da reta tangente ao gráfico de R(s) = lang<= 4, 1, 0 rang<= + s lang<= -4, 1, 4 rang<= no ponto é:

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