(a) Obtenha a inclinação da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
(b) Obtenha as coordenadas do ponto que a reta
intersecta o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. Na parte (a), a gente precisa encontrar a inclinação da reta no plano bidimensional dada pela equação vetorial:
Em (b), temos uma reta no espaço tridimensional e queremos descobrir em que ponto essa reta cruza o plano
. A equação vetorial da reta é:
E o plano
é onde
. Vamos precisar entender como as equações vetoriais descrevem retas e como encontrar a inclinação e os pontos de interseção com planos.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). A inclinação da reta no plano bidimensional é basicamente o quanto a reta sobe ou desce conforme se move ao longo do eixo
.
A equação vetorial dada pode ser escrita em termos das coordenadas
e
:
Para achar a inclinação, precisamos expressar
em função de
.
Passo 3
Primeiro, resolvemos a equação de
para
:
Agora substituímos esse valor de
na equação de
:
Vamos simplificar isso:
Então, a equação da reta fica:
Passo 4
A inclinação
de uma reta na forma
é o coeficiente de
. No nosso caso, a inclinação é:
Isso significa que para cada unidade que avançamos no eixo
, a reta desce
unidades no eixo
.
Passo 5
Agora vamos para a parte (b). Queremos encontrar as coordenadas do ponto onde a reta intersecta o plano
. No plano
, a coordenada
é sempre zero.
Temos a equação vetorial da reta:
Isso nos dá as coordenadas:
Passo 6
Para encontrar o ponto de interseção com o plano
, sabemos que
. Então, igualamos a expressão de
a zero e resolvemos para
:
Passo 7
Agora que temos o valor de
, substituímos de volta nas equações de
e
para encontrar as coordenadas:
Portanto, o ponto de interseção é:
Resposta
(a) A inclinação da reta é
.
(b) A reta intersecta o plano
no ponto
.
Exercícios relacionados
Sabendo que
, calcule
e
.
Calcule
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as fórmulas
e
Esboce o gráfico de
e mostre o sentido crescente de
.
30.
30.
Seja
. Determine
(a).
(a).