(a) Obtenha a inclinação da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
(b) Obtenha as coordenadas do ponto que a reta
intersecta o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. Na parte (a), a gente precisa encontrar a inclinação da reta no plano bidimensional dada pela equação vetorial:
Em (b), temos uma reta no espaço tridimensional e queremos descobrir em que ponto essa reta cruza o plano . A equação vetorial da reta é:
E o plano é onde . Vamos precisar entender como as equações vetoriais descrevem retas e como encontrar a inclinação e os pontos de interseção com planos.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). A inclinação da reta no plano bidimensional é basicamente o quanto a reta sobe ou desce conforme se move ao longo do eixo .
A equação vetorial dada pode ser escrita em termos das coordenadas e :
Para achar a inclinação, precisamos expressar em função de .

Passo 3

Primeiro, resolvemos a equação de para :
Agora substituímos esse valor de na equação de :
Vamos simplificar isso:
Então, a equação da reta fica:

Passo 4

A inclinação de uma reta na forma é o coeficiente de . No nosso caso, a inclinação é:
Isso significa que para cada unidade que avançamos no eixo , a reta desce unidades no eixo .

Passo 5

Agora vamos para a parte (b). Queremos encontrar as coordenadas do ponto onde a reta intersecta o plano . No plano , a coordenada é sempre zero.
Temos a equação vetorial da reta:
Isso nos dá as coordenadas:

Passo 6

Para encontrar o ponto de interseção com o plano , sabemos que . Então, igualamos a expressão de a zero e resolvemos para :

Passo 7

Agora que temos o valor de , substituímos de volta nas equações de e para encontrar as coordenadas:
Portanto, o ponto de interseção é:

Resposta

(a) A inclinação da reta é .
(b) A reta intersecta o plano no ponto .

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Sabendo que , calcule e .
Calcule
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as fórmulas
e
Esboce o gráfico de e mostre o sentido crescente de .
30.
Seja . Determine
(a).