Sabendo que , calcule e .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função composta . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia. Para resolver, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais e usar as informações dadas sobre as derivadas de em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. (já que é tratado como constante em relação a )
Substituindo na expressão:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos avaliar no ponto :
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aplicando a regra da cadeia novamente:
Aqui, e .

Passo 6

Calculando cada termo:
  1. (já que é tratado como constante em relação a )
Substituindo na expressão:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos avaliar no ponto :
Sabemos que e , então:

Resposta

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Calcule
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as fórmulas
e
Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma das funções abaixo:
b)
(a) Obtenha a inclinação da reta no espaço bidimensional que está representada pela equação vetorial
(b) Obtenha as coordenadas do ponto que a reta
intersecta o plano .
Esboce o gráfico de e mostre o sentido crescente de .
30.