Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função composta . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia. Para resolver, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais e usar as informações dadas sobre as derivadas de em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, e .
Passo 3
Vamos calcular cada termo separadamente:
(já que é tratado como constante em relação a )
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos avaliar no ponto :
Sabemos que e , então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Fpartial y = partial fpartial u cdot partial (sin x)partial y + partial fpartial v cdot partial (cos y)partial y em relação a , ou seja, . Aplicando a regra da cadeia novamente:
Aqui, e .
Passo 6
Calculando cada termo:
partial Fpartial y = partial fpartial u cdot 0 + partial fpartial v cdot (-sin y) (já que partial Fpartial y = -partial fpartial v cdot sin y é tratado como constante em relação a )
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos avaliar partial Fpartial y |(0,0) = - partial fpartial v |(0,1) cdot sin 0 no ponto partial Fpartial y |(0,0) = -2 cdot 0 = 0 :