F(x, y)=f(sin x, cos y)
Sabendo que partial fpartial u(0,1)=partial fpartial v(0,1)=2, calcule partial Fpartial x(0,0) e partial Fpartial y(0,0).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função composta . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de derivadas parciais usando a regra da cadeia. Para resolver, precisamos aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais e usar as informações dadas sobre as derivadas de em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial Fpartial x = partial fpartial u cdot partial (sin x)partial x + partial fpartial v cdot partial (cos y)partial x em relação a , ou seja, . A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. partial Fpartial x = partial fpartial u cdot cos x + partial fpartial v cdot 0
  2. partial Fpartial x = partial fpartial u cdot cos x (já que é tratado como constante em relação a )
Substituindo na expressão:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos avaliar partial Fpartial x |(0,0) = partial fpartial u |(0,1) cdot cos 0 no ponto partial Fpartial x |(0,0) = 2 cdot 1 = 2 :
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial Fpartial y = partial fpartial u cdot partial (sin x)partial y + partial fpartial v cdot partial (cos y)partial y em relação a , ou seja, . Aplicando a regra da cadeia novamente:
Aqui, e .

Passo 6

Calculando cada termo:
  1. partial Fpartial y = partial fpartial u cdot 0 + partial fpartial v cdot (-sin y) (já que partial Fpartial y = -partial fpartial v cdot sin y é tratado como constante em relação a )
Substituindo na expressão:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos avaliar partial Fpartial y |(0,0) = - partial fpartial v |(0,1) cdot sin 0 no ponto partial Fpartial y |(0,0) = -2 cdot 0 = 0 :
Sabemos que e , então:

Resposta

partial Fpartial x(0,0) = 2 e partial Fpartial y(0,0) = 0

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