Calcule
primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as Fórmulas (6) e (7).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada em relação a
do produto escalar
e do produto vetorial
. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas de produtos escalares e produtos vetoriais. Para isso, vamos precisar entender como diferenciar esses tipos de produtos usando regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as funções vetoriais dadas:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções dos eixos
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos começar calculando o produto escalar
. O produto escalar entre dois vetores é dado pela soma dos produtos de suas componentes correspondentes:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar essa expressão em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois originais, e suas componentes são calculadas usando o determinante:
Calculando o determinante:
Passo 6
Agora, vamos diferenciar cada componente do vetor resultante em relação a
:
Calculando as derivadas:
Então:
Resposta
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