Calcule primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as Fórmulas (6) e (7).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada em relação a do produto escalar e do produto vetorial . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas de produtos escalares e produtos vetoriais. Para isso, vamos precisar entender como diferenciar esses tipos de produtos usando regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as funções vetoriais dadas:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções dos eixos , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos começar calculando o produto escalar . O produto escalar entre dois vetores é dado pela soma dos produtos de suas componentes correspondentes:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar essa expressão em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois originais, e suas componentes são calculadas usando o determinante:
Calculando o determinante:

Passo 6

Agora, vamos diferenciar cada componente do vetor resultante em relação a :
Calculando as derivadas:
Então:

Resposta

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Calcule a integral definida.