Calcule dd t[r1(t) cdot r2(t)] e dd t[r1(t) times r2(t)] primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as Fórmulas (6) e (7). r1(t)=cos t i+sen t j+t k, r2(t)=i+t k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada em relação a do produto escalar e do produto vetorial . A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente derivadas de produtos escalares e produtos vetoriais. Para isso, vamos precisar entender como diferenciar esses tipos de produtos usando regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as funções vetoriais dadas:
r1(t) = cos t , i + sen t , j + t , k
Aqui, r2(t) = i + t , k , e são os vetores unitários nas direções dos eixos , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos começar calculando o produto escalar r1(t) cdot r2(t) = (cos t)(1) + (sen t)(0) + (t)(t) = cos t + t^2 . O produto escalar entre dois vetores é dado pela soma dos produtos de suas componentes correspondentes:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar essa expressão em relação a ddt [r1(t) cdot r2(t)] = ddt (cos t + t^2) = -sen t + 2t :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o produto vetorial r1(t) times r2(t) = i & j & k cos t & sen t & t 1 & 0 & t . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois originais, e suas componentes são calculadas usando o determinante:
Calculando o determinante:

Passo 6

Agora, vamos diferenciar cada componente do vetor resultante em relação a ddt [r1(t) times r2(t)] = ddt (t sen t) , i - ddt [t (cos t - 1)] , j - ddt (sen t) , k :
Calculando as derivadas:
Então:

Resposta

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