Calcule:
integral cos ^3 x sen x d x=-cos ^4 x4+k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral que pede para calcularmos . Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais, especificamente usando substituição. Vamos precisar lembrar como usar a substituição para resolver integrais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, olhamos para a função que está sendo integrada: . Perceba que temos multiplicando uma potência de . Isso é um bom indicativo para usarmos a técnica de substituição, onde escolhemos uma parte da função para substituir por uma nova variável.

Passo 3

Vamos definir uma substituição que simplifique a integral. Vamos deixar:
u = cos x
Agora, precisamos encontrar du = -sen x , dx . Derivando ambos os lados em relação a -du = sen x , dx :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos integral cos^3 x cdot sen x , dx = integral u^3 cdot (-du) e = -integral u^3 , du na integral original:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral em termos de -integral u^3 , du = -( u^44 ) + C :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos -( (cos x)^44 ) + C = -cos^4 x4 + C de volta por :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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