Calcule a integral definida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, estamos lidando com vetores e cálculo de magnitudes, então vamos precisar lembrar como encontrar o módulo de um vetor e depois integrar esse resultado no intervalo de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está dentro da integral. Temos o vetor . Para achar a magnitude desse vetor, usamos a fórmula do módulo de um vetor no plano:

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso vetor:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a expressão dentro da raiz. Perceba que temos , que dá para fatorar:
Aqui, tiramos da raiz, lembrando que é positivo no intervalo de 0 a 2, então não precisamos nos preocupar com o valor absoluto.

Passo 5

Com a simplificação, nossa integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo na integral:
Calculamos os novos limites de integração:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites:

Resposta

A integral definida vale .

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Calcule, se existir, os limites abaixo:
Calcule primeiro diferenciando o produto diretamente e, então, aplicando as Fórmulas (6) e (7).
Calcule, se existir, os limites abaixo:
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