Calcule a integral definida. integral0^2|t i+t^2 j| d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Aqui, estamos lidando com vetores e cálculo de magnitudes, então vamos precisar lembrar como encontrar o módulo de um vetor e depois integrar esse resultado no intervalo de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está dentro da integral. Temos o vetor | v | = raiz(componentes em i)^2 + (componentes em j)^2 . Para achar a magnitude desse vetor, usamos a fórmula do módulo de um vetor no plano:

Passo 3

Aplicando essa fórmula ao nosso vetor:
| t i + t^2 j | = raizt^2 + (t^2)^2 = raizt^2 + t^4

Passo 4

Agora, podemos simplificar a expressão dentro da raiz. Perceba que temos raizt^2 + t^4 = raizt^2(1 + t^2) = t raiz1 + t^2 , que dá para fatorar:
Aqui, tiramos da raiz, lembrando que é positivo no intervalo de 0 a 2, então não precisamos nos preocupar com o valor absoluto.

Passo 5

Com a simplificação, nossa integral fica:
integral0^2 t raiz1 + t^2 , dt
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar du = 2t , dt Rightarrow du2 = t , dt . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo na integral:
integral0^2 t raiz1 + t^2 , dt = 12 integralu(0)^u(2) raizu , du
Calculamos os novos limites de integração:
u(0) = 1 + 0^2 = 1 u(2) = 1 + 2^2 = 5
Então, a integral fica:
12 integral1^5 u^1/2 , du

Passo 7

Agora, vamos integrar integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C :
12 [ 23 u^3/2 ]1^5 = 13 (5^3/2 - 1^3/2)
Aplicando os limites:

Resposta

A integral definida vale .

Exercícios relacionados