Calcule
, sendo:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada de
em relação a
. A equação que temos é
, onde
e
. Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta importante do cálculo para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes que compõem nossa função. Temos
que depende de
e
, e ambos
e
dependem de
. Então, para achar
, a regra da cadeia nos diz que precisamos derivar
em relação a
e
, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Essas derivadas indicam como
muda quando
ou
mudam.
Passo 4
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Essas são as taxas de variação de
e
com relação a
.
Passo 5
Aplicando a Regra da Cadeia, juntamos tudo:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 6
Como
e
, temos
. Vamos substituir na expressão:
Resposta
Exercícios relacionados
Mostre que as funções
(em que
é uma constante) e
satisfazem a chamada equação de difusão ou equação do calor
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção indicada:
Calcule as derivadas parciais das funções dadas:
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: