Calcule d/dt [z(r(t), s(t))], sendo: z = ln(r + s), r = e^(-2 t), s = t^3 - t^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada de em relação a . A equação que temos é , onde e . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta importante do cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que compõem nossa função. Temos que depende de e , e ambos e dependem de . Então, para achar , a regra da cadeia nos diz que precisamos derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas indicam como muda quando ou mudam.

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :
Essas são as taxas de variação de e com relação a .

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, juntamos tudo:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 6

Como e , temos . Vamos substituir na expressão:

Resposta

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Mostre que as funções z(x, t) = (1 / raiz(t)) * e^(-x^2 / (4 * k * t)) (em que k é uma constante) e z(x, t) = e^(-k^2 t) sen(k x) satisfazem a chamada equação de difusão ou equação do calor zt = k zx x.
Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção indicada: f(x, y) = x^2 + 3 y z + 4 x y, P = (1, 0, -5), u = 2 i - 3 j + k
Calcule as derivadas parciais das funções dadas: f(x, y) = (x^3 + y^2) / (x^2 + y^2)
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y) = 4xy z - ln(2xyz)