Calcule d/dt [z(r(t), s(t))], sendo: z = ln(r + s), r = e^(-2 t), s = t^3 - t^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada de em relação a . A equação que temos é , onde e . Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma ferramenta importante do cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que compõem nossa função. Temos que depende de e , e ambos e dependem de . Então, para achar , a regra da cadeia nos diz que precisamos derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas indicam como muda quando ou mudam.

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :
Essas são as taxas de variação de e com relação a .

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, juntamos tudo:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 6

Como e , temos . Vamos substituir na expressão:

Resposta

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