Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. A matéria envolvida aqui são as derivadas parciais, tanto de primeira quanto de segunda ordem, incluindo as derivadas cruzadas. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia, além de saber derivar funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
. Isso significa que tratamos
(e
se for constante) como uma constante ao derivar em relação a
.
A função é:
Derivando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo, aplicando a regra da cadeia:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
.
Derivando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo, aplicando a regra da cadeia:
Portanto:
Passo 4
Vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada em relação a
, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Agora, a segunda derivada em relação a
, ou seja,
.
Derivando
em relação a
:
Passo 6
Por fim, vamos calcular as derivadas cruzadas
e
. Vamos derivar
em relação a
:
De forma semelhante, derivando
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são: