Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y) = 4xy z - ln(2xyz)

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . A matéria envolvida aqui são as derivadas parciais, tanto de primeira quanto de segunda ordem, incluindo as derivadas cruzadas. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia, além de saber derivar funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a , ou seja, . Isso significa que tratamos (e se for constante) como uma constante ao derivar em relação a .
A função é:
Derivando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo, aplicando a regra da cadeia:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a , ou seja, .
Derivando termo a termo:
Primeiro termo:
Segundo termo, aplicando a regra da cadeia:
Portanto:

Passo 4

Vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a segunda derivada em relação a , ou seja, .
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, a segunda derivada em relação a , ou seja, .
Derivando em relação a :

Passo 6

Por fim, vamos calcular as derivadas cruzadas e . Vamos derivar em relação a :
De forma semelhante, derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são:

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