Calcule as derivadas parciais das funções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função
. Vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas parciais, especificamente a regra do quociente, que nos ajuda a derivar funções que são frações de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vamos derivar. Temos:
- O numerador:
- O denominador:
Queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
.
Passo 3
Vamos usar a regra do quociente para derivadas parciais. A regra do quociente para uma função
é dada por:
onde
pode ser
ou
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
.
Calculando
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
.
Calculando
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Fatorando
:
Então:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo:
Mostre que as funções
(em que
é uma constante) e
satisfazem a chamada equação de difusão ou equação do calor
.
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Calcule
, sendo: