Calcule as derivadas parciais das funções dadas: f(x, y) = (x^3 + y^2) / (x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais da função . Vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas parciais, especificamente a regra do quociente, que nos ajuda a derivar funções que são frações de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que vamos derivar. Temos:
  • O numerador:
  • O denominador:
Queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e .

Passo 3

Vamos usar a regra do quociente para derivadas parciais. A regra do quociente para uma função é dada por:
onde pode ser ou .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular .
Calculando e :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular .
Calculando e :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Fatorando :
Então:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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