Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção indicada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma derivada direcional! A questão nos dá uma função
, um ponto
e um vetor de direção
. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente Derivadas Parciais e Derivadas Direcionais. Para resolver, precisamos calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de
.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o vetor de direção
em um vetor unitário. Isso significa que vamos deixar o vetor com magnitude 1. A fórmula para o vetor unitário
é:
Calculando a magnitude de
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Então,
Calculando cada derivada parcial:
Então,
Passo 4
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Por fim, a derivada direcional de
no ponto
na direção de
é o produto escalar do gradiente de
em
com o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
ou, racionalizando,
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
.
Mostre que as funções
(em que
é uma constante) e
satisfazem a chamada equação de difusão ou equação do calor
.
Calcule
, sendo: