Calcule a derivada direcional de f no ponto P na direção indicada: f(x, y) = x^2 + 3 y z + 4 x y, P = (1, 0, -5), u = 2 i - 3 j + k

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma derivada direcional! A questão nos dá uma função , um ponto e um vetor de direção . A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Diferencial, especificamente Derivadas Parciais e Derivadas Direcionais. Para resolver, precisamos calcular o gradiente da função e o vetor unitário na direção de .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o vetor de direção em um vetor unitário. Isso significa que vamos deixar o vetor com magnitude 1. A fórmula para o vetor unitário é:
Calculando a magnitude de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação a cada variável. Então,
Calculando cada derivada parcial:
Então,

Passo 4

Vamos agora avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Por fim, a derivada direcional de no ponto na direção de é o produto escalar do gradiente de em com o vetor unitário :
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador se preferir:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é ou, racionalizando, .

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Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y)=integralx^y ln (sin t) d t.
t^2 y'' + 5 t y' + 4 y = 0, t > 0 ; y1(t) = t^2, y2(t) = t^2 ln(t)
Mostre que as funções z(x, t) = (1 / raiz(t)) * e^(-x^2 / (4 * k * t)) (em que k é uma constante) e z(x, t) = e^(-k^2 t) sen(k x) satisfazem a chamada equação de difusão ou equação do calor zt = k zx x.
Calcule d/dt [z(r(t), s(t))], sendo: z = ln(r + s), r = e^(-2 t), s = t^3 - t^2