Mostre que as funções
(em que
é uma constante) e
satisfazem a chamada equação de difusão ou equação do calor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que duas funções específicas resolvem a equação de difusão, também conhecida como equação do calor, que é
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação ao tempo
e também as derivadas de segunda ordem em relação ao espaço
. Vamos fazer isso passo a passo para cada função.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a função
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
, ou seja,
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada do expoente
em relação a
é
.
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Passo 5
Comparando
e
, vemos que:
Portanto, a primeira função satisfaz a equação do calor.
Passo 6
Agora, vamos verificar a segunda função:
.
Passo 7
Primeiro, calculamos a derivada parcial de
em relação ao tempo
,
:
Passo 8
Em seguida, calculamos a segunda derivada de
em relação a
,
:
Passo 9
Comparando
e
:
Então,
.
Resposta
Ambas as funções
e
satisfazem a equação de difusão
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção indicada:
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
.
Calcule
, sendo:
Calcule as derivadas parciais das funções dadas: