Mostre que as funções z(x, t) = (1 / raiz(t)) * e^(-x^2 / (4 * k * t)) (em que k é uma constante) e z(x, t) = e^(-k^2 t) sen(k x) satisfazem a chamada equação de difusão ou equação do calor zt = k zx x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que duas funções específicas resolvem a equação de difusão, também conhecida como equação do calor, que é . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação ao tempo e também as derivadas de segunda ordem em relação ao espaço . Vamos fazer isso passo a passo para cada função.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a função .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo , ou seja, .
A derivada de em relação a é .
A derivada do expoente em relação a é .
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, .
Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:

Passo 5

Comparando e , vemos que:
Portanto, a primeira função satisfaz a equação do calor.

Passo 6

Agora, vamos verificar a segunda função: .

Passo 7

Primeiro, calculamos a derivada parcial de em relação ao tempo , :

Passo 8

Em seguida, calculamos a segunda derivada de em relação a , :

Passo 9

Comparando e :
Então, .

Resposta

Ambas as funções e satisfazem a equação de difusão .

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