Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, incluindo as cruzadas, da função
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial de Funções de Várias Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação em funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
Para
, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Para
, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso inclui
,
e as derivadas cruzadas
e
.
Começando por
, derivamos
em relação a
:
Para
, derivamos
em relação a
:
Agora, para as derivadas cruzadas
e
, podemos derivar
em relação a
ou
em relação a
. Vamos fazer o primeiro:
Como as derivadas cruzadas são iguais (
), temos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo:
.
Mostre que a função
satisfaz a equação de Laplace
.
Encontrar a derivada direcional de
no ponto
:
a) no sentido deste ponto para a origem;
b) no sentido de um vetor tal que
.
a) no sentido deste ponto para a origem;
b) no sentido de um vetor
Calcule
e
, sendo: