Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y) = e^(x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, incluindo as cruzadas, da função . Isso está dentro da matéria de Cálculo Diferencial de Funções de Várias Variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de derivação em funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e .
Para , tratamos como uma constante e derivamos em relação a :
Para , tratamos como uma constante e derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Isso inclui , e as derivadas cruzadas e .
Começando por , derivamos em relação a :
Para , derivamos em relação a :
Agora, para as derivadas cruzadas e , podemos derivar em relação a ou em relação a . Vamos fazer o primeiro:
Como as derivadas cruzadas são iguais ( ), temos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função são:

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Calcule d/dt [z(r(t), s(t))], sendo: z = r^2 - s tg(r), r = sen^2(t), s = cos(t).
Mostre que a função u(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(-1/2) satisfaz a equação de Laplace u_xx + u_yy + u_zz = 0.
Encontrar a derivada direcional de ln(x^2 + y^2 + z^2) no ponto (1, 2, -1) :
a) no sentido deste ponto para a origem;
b) no sentido de um vetor v tal que v · (1,2,-1) = 0.
Calcule partialpartial r[w(x(r, s), y(r, s))] e partialpartial s[w(x(r, s), y(r, s))], sendo: w=raizx^2+y^2, x=r e^-s, y=s^2 e^-r