Encontrar a derivada direcional de ln(x^2 + y^2 + z^2) no ponto (1, 2, -1) :
a) no sentido deste ponto para a origem;
b) no sentido de um vetor v tal que v · (1,2,-1) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de cálculo sobre derivadas direcionais. A questão pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto em duas direções diferentes. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e como determinar o vetor na direção desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. É a taxa de variação da função em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, usamos o gradiente da função nesse ponto e o vetor unitário que indica a direção desejada. A fórmula da derivada direcional é:
onde é o gradiente de e é o vetor unitário na direção escolhida.

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Vamos calcular o gradiente no ponto :
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos na expressão do gradiente:

Passo 5

Parte a) No sentido do ponto para a origem

Primeiro, vamos determinar o vetor direção do ponto para a origem . Esse vetor é:
Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário :
Então,

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:

Passo 7

Podemos simplificar a resposta racionalizando o denominador:

Passo 8

Parte b) No sentido de um vetor tal que

Aqui, o vetor é perpendicular ao vetor . Vamos observar que o gradiente da função é proporcional ao vetor , já que cada componente é dividido por 3. Ou seja,
Isso significa que e são vetores paralelos.
Como é perpendicular a e o gradiente está na direção de , então também é perpendicular ao gradiente.

Passo 9

Sabendo que é perpendicular ao gradiente , o produto escalar será zero:
Isso significa que a derivada direcional de na direção de é zero.

Resposta

a) A derivada direcional na direção do ponto para a origem é .
b) A derivada direcional na direção de um vetor perpendicular a é zero.

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