Encontrar a derivada direcional de
no ponto
:
a) no sentido deste ponto para a origem;
b) no sentido de um vetor
tal que
.
a) no sentido deste ponto para a origem;
b) no sentido de um vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de cálculo sobre derivadas direcionais. A questão pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
em duas direções diferentes. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e como determinar o vetor na direção desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. É a taxa de variação da função
em uma direção específica a partir de um ponto. Para calcular isso, usamos o gradiente da função nesse ponto e o vetor unitário que indica a direção desejada. A fórmula da derivada direcional
é:
onde
é o gradiente de
e
é o vetor unitário na direção escolhida.
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Vamos calcular o gradiente no ponto
:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos na expressão do gradiente:
Passo 5
Parte a) No sentido do ponto para a origem
Primeiro, vamos determinar o vetor direção do ponto
para a origem
. Esse vetor é:
Agora, precisamos transformar esse vetor em um vetor unitário
:
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Calculando o produto escalar:
Passo 7
Podemos simplificar a resposta racionalizando o denominador:
Passo 8
Parte b) No sentido de um vetor
tal que
Aqui, o vetor
é perpendicular ao vetor
. Vamos observar que o gradiente da função
é proporcional ao vetor
, já que cada componente é dividido por 3. Ou seja,
Isso significa que
e
são vetores paralelos.
Como
é perpendicular a
e o gradiente está na direção de
, então
também é perpendicular ao gradiente.
Passo 9
Sabendo que
é perpendicular ao gradiente
, o produto escalar
será zero:
Isso significa que a derivada direcional de
na direção de
é zero.
Resposta
a) A derivada direcional na direção do ponto para a origem é
.
b) A derivada direcional na direção de um vetor perpendicular a
é zero.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Calcule
, sendo:
.
Calcule
e
, sendo:
Determinar resultado de ação de operadores diferenciais vetoriais
onde
é uma função arbitrária do argumento
.