Resolva duas e apenas duas das integrais abaixo, justificando todas as suas passagens. (1,5 pt) integral(x^2+1) e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a integral . Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente o método de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para resolver integrais que são produtos de polinômios e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, escolhemos e de forma que e sejam mais simples de trabalhar.

Passo 3

Vamos aplicar a integração por partes à nossa integral u = x^2 + 1 Rightarrow du = 2x , dx . Escolhemos:
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x
Aqui, derivamos para obter e integramos para obter .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral(x^2+1) e^-x , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
= (x^2 + 1) (-e^-x) - integral (-e^-x) (2x) , dx
= -(x^2 + 1) e^-x + 2 integral x e^-x , dx

Passo 5

Ainda temos uma integral para resolver: u = x Rightarrow du = dx . Vamos usar novamente a integração por partes para essa parte. Escolhemos:
dv = e^-x , dx Rightarrow v = -e^-x

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:
integral x e^-x , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
= x (-e^-x) - integral (-e^-x) , dx
= -x e^-x + integral e^-x , dx
= -x e^-x - e^-x + C
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
- (x^2 + 1) e^-x + 2 (-x e^-x - e^-x) + C
Distribuindo o 2:
- (x^2 + 1) e^-x - 2x e^-x - 2 e^-x + C

Passo 8

Agora, podemos fatorar - e^-x (x^2 + 1 + 2x + 2) + C para simplificar:
= - e^-x (x^2 + 2x + 3) + C

Resposta

A integral - e^-x (x^2 + 2x + 3) + C é igual a:

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Resolva duas e apenas duas das integrais abaixo, justificando todas as suas passagens. (1,5 pt) integral x+2x^2+4 d x
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