Resolva duas e apenas duas das integrais abaixo, justificando todas as suas passagens.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver a integral
. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente o método de integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para resolver integrais que são produtos de polinômios e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, escolhemos
e
de forma que
e
sejam mais simples de trabalhar.
Passo 3
Vamos aplicar a integração por partes à nossa integral
. Escolhemos:
Aqui, derivamos
para obter
e integramos
para obter
.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo:
Passo 5
Ainda temos uma integral para resolver:
. Vamos usar novamente a integração por partes para essa parte. Escolhemos:
Passo 6
Aplicando a integração por partes novamente:
Substituindo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o 2:
Passo 8
Agora, podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
A integral
é igual a:
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Defina precisamente o símbolo
.
Esboce o gráfico da função abaixo, realçando domínio, intervalos de crescimento e de decrescimento, pontos e valores de máximo e mínimo caso existam, retas assíntotas verticais e horizontais caso existam, concavidade, intersecção com os eixos coordenados, limites que você considerar importantes e outras informações que você puder identificar. Escolha um ponto do gráfico e apresente a equação da reta tangente naquele ponto.
Resolva duas e apenas duas das integrais abaixo, justificando todas as suas passagens.
Calcule
, justificando todas as suas passagens.