Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de multiplicada pela raiz quadrada de . Para isso, vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia, que são ferramentas fundamentais em cálculo para derivar funções compostas e produtos de funções.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Para derivar , precisamos aplicar a regra do produto, que diz:
Ou seja, a derivada do produto é igual à derivada do primeiro fator vezes o segundo, mais o primeiro fator vezes a derivada do segundo.

Passo 3

Vamos começar calculando , a derivada de .
A derivada de é , onde .
Então,
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos derivar .
Primeiro, escrevemos isso como uma potência:
Usamos a regra da cadeia para derivar funções compostas. A derivada de é .
Aplicando isso a :
Agora, vamos derivar o que está dentro da raiz:
Simplificando:
Então, a derivada de fica:

Passo 5

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Calcule
Sabendo que
Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.