Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função
. O que precisamos fazer é:
- Encontrar os extremos relativos (pontos de máximo e mínimo) usando o teste da segunda derivada ou, se não der, usar o teste da primeira derivada.
- Determinar os pontos de inflexão e onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo.
- Encontrar as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas, se existirem.
- Fazer um esboço do gráfico da função.
Para isso, vamos precisar calcular derivadas, analisar seus sinais e entender um pouco sobre o comportamento das funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de
para identificar os possíveis extremos relativos. A derivada de uma função da forma
é dada por:
Aqui,
e
.
Calculando
e
:
Então,
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos
a zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo. Primeiro, encontramos a segunda derivada
.
Usando a derivada de
:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Agora, avaliamos
:
Como
, isso indica que temos um máximo relativo em
.
Passo 5
Vamos agora encontrar os pontos de inflexão e analisar a concavidade do gráfico. Para encontrar pontos de inflexão, procuramos onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
.
Resolvendo
:
Dividindo tudo por 4 para simplificar:
Vamos substituir
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
Como
não pode ser negativo, temos apenas
, ou seja,
→
.
Agora, analisamos a concavidade nos intervalos determinados por esses pontos:
- Para
: escolha , - Entre
e : escolha , - Para
: escolha .
Calculando
nesses pontos:
-
→ Côncavo para cima. -
→ Côncavo para baixo. -
→ Côncavo para cima.
Portanto, há pontos de inflexão em
e
.
Passo 6
Vamos determinar as assíntotas da função.
Assíntotas Verticais: São os valores de
que fazem o denominador ser zero, ou seja, onde
:
Então, temos assíntotas verticais em
e
.
Assíntotas Horizontais: Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau:
Então, há uma assíntota horizontal em
.
Assíntotas Obliquas: Não existem, pois os graus do numerador e denominador são iguais.
Passo 7
Com todas as informações coletadas, vamos resumir:
- Extremos Relativos: Máximo relativo em
, onde . - Pontos de Inflexão:
e . - Concavidade:
- Côncavo para cima em
e . - Côncavo para baixo entre
e .
- Côncavo para cima em
- Assíntotas:
- Verticais em
e . - Horizontal em
.
- Verticais em
- Assíntotas Obliquas: Não existem.
Resposta
A função
possui um máximo relativo em
, pontos de inflexão em
e
, é côncava para cima nos intervalos
e
, e côncava para baixo entre
e
. As assíntotas verticais estão em
e
, e a assíntota horizontal é
. Não há assíntotas oblíquas. O esboço do gráfico segue essas características.
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Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
Calcule
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.