Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função . O que precisamos fazer é:
  1. Encontrar os extremos relativos (pontos de máximo e mínimo) usando o teste da segunda derivada ou, se não der, usar o teste da primeira derivada.
  2. Determinar os pontos de inflexão e onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo.
  3. Encontrar as assíntotas horizontais, verticais e oblíquas, se existirem.
  4. Fazer um esboço do gráfico da função.
Para isso, vamos precisar calcular derivadas, analisar seus sinais e entender um pouco sobre o comportamento das funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de para identificar os possíveis extremos relativos. A derivada de uma função da forma é dada por:
Aqui, e .
Calculando e :
Então,

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos a zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Vamos usar o teste da segunda derivada para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo relativo. Primeiro, encontramos a segunda derivada .
Usando a derivada de :
Aplicando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Agora, avaliamos :
Como , isso indica que temos um máximo relativo em .

Passo 5

Vamos agora encontrar os pontos de inflexão e analisar a concavidade do gráfico. Para encontrar pontos de inflexão, procuramos onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde .
Resolvendo :
Dividindo tudo por 4 para simplificar:
Vamos substituir :
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
Como não pode ser negativo, temos apenas , ou seja, .
Agora, analisamos a concavidade nos intervalos determinados por esses pontos:
  • Para : escolha ,
  • Entre e : escolha ,
  • Para : escolha .
Calculando nesses pontos:
  • → Côncavo para cima.
  • → Côncavo para baixo.
  • → Côncavo para cima.
Portanto, há pontos de inflexão em e .

Passo 6

Vamos determinar as assíntotas da função.
Assíntotas Verticais: São os valores de que fazem o denominador ser zero, ou seja, onde :
Então, temos assíntotas verticais em e .
Assíntotas Horizontais: Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau:
Então, há uma assíntota horizontal em .
Assíntotas Obliquas: Não existem, pois os graus do numerador e denominador são iguais.

Passo 7

Com todas as informações coletadas, vamos resumir:
  • Extremos Relativos: Máximo relativo em , onde .
  • Pontos de Inflexão: e .
  • Concavidade:
    • Côncavo para cima em e .
    • Côncavo para baixo entre e .
  • Assíntotas:
    • Verticais em e .
    • Horizontal em .
  • Assíntotas Obliquas: Não existem.

Resposta

A função possui um máximo relativo em , pontos de inflexão em e , é côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo entre e . As assíntotas verticais estão em e , e a assíntota horizontal é . Não há assíntotas oblíquas. O esboço do gráfico segue essas características.

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Calcule as derivadas das funções abaixo utilizando a Regra da Cadeia.
Calcule
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.
Encontre os extremos relativos das funções usando o teste da segunda derivada, quando aplicável. Em caso contrário, use o teste da derivada primeira. Determine também, os pontos de inflexão, bem como onde o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baixo. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso existam. Por fim, faça o esboço do mesmo.