Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função que combina duas outras funções,
e
, no intervalo de 0 a 4. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente a propriedade da linearidade das integrais e a técnica de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, já que a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja:
Passo 3
A gente já tem o valor da primeira integral no enunciado:
Então, só precisamos calcular a segunda parte:
.
Passo 4
Para calcular
, vamos usar a técnica de substituição. Vamos definir uma nova variável
. Assim, a gente precisa também encontrar
:
Passo 5
Agora, vamos mudar os limites de integração de acordo com a substituição:
Quando
:
Quando
:
Então, os novos limites são de 0 a 20.
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
Passo 7
A gente também tem o valor dessa integral no enunciado:
Então, substituindo:
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Resposta
O valor da integral é
.
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No início da década de 1990, um petroleiro colidiu com um barco da Guarda Costeira na costa da Califórnia. O petroleiro desativado estava derramando óleo do casco danificado. A taxa de fluxo de petróleo no Oceano Pacífico, na costa da Califórnia, foi medida em vários intervalos de tempo diferentes no terceiro dia após o acidente. As taxas estão listadas na tabela abaixo. (Esses são dados hipotéticos.)
Tempo | 21 h | 22 h | 23 h | 24 h | 1 h | 2 h | 3 h | 4 h | 5 h | 6 h | 7 h |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Quantidade (100 gal/hora) | 4,0 | 4,0 | 3,8 | 3,6 | 3,0 | 2,0 | 0,6 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,0 |
Estime a quantidade total de óleo derramado durante o período de dez horas coberto pela tabela. O que você pode dizer sobre o erro envolvido em sua estimativa?
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é dado.
Calcule
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