Sabendo que
integral0^20 g(x) d x=-2, integral0^4 f(x) d x=5 Calcu<= integral0^4[f(x)+g(5 x)] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função que combina duas outras funções, e , no intervalo de 0 a 4. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente a propriedade da linearidade das integrais e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, já que a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja:
integral0^4 [f(x) + g(5x)] , dx = integral0^4 f(x) , dx + integral0^4 g(5x) , dx

Passo 3

A gente já tem o valor da primeira integral no enunciado:
integral0^4 f(x) , dx = 5
Então, só precisamos calcular a segunda parte: .

Passo 4

Para calcular u = 5x du = 5 , dx dx = du5 , vamos usar a técnica de substituição. Vamos definir uma nova variável . Assim, a gente precisa também encontrar :

Passo 5

Agora, vamos mudar os limites de integração de acordo com a substituição:
Quando u = 5 times 0 = 0 :
u = 5 times 4 = 20
Quando :
Então, os novos limites são de 0 a 20.

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^4 g(5x) , dx = integral0^20 g(u) times du5 = 15 integral0^20 g(u) , du

Passo 7

A gente também tem o valor dessa integral no enunciado:
integral0^20 g(u) , du = -2
Então, substituindo:
15 times (-2) = -25

Passo 8

Agora, juntando tudo:
integral0^4 [f(x) + g(5x)] , dx = 5 + (-25) = 255 - 25 = 235

Resposta

O valor da integral é .

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