Sabendo que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função que combina duas outras funções, e , no intervalo de 0 a 4. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente a propriedade da linearidade das integrais e a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes, já que a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja:

Passo 3

A gente já tem o valor da primeira integral no enunciado:
Então, só precisamos calcular a segunda parte: .

Passo 4

Para calcular , vamos usar a técnica de substituição. Vamos definir uma nova variável . Assim, a gente precisa também encontrar :

Passo 5

Agora, vamos mudar os limites de integração de acordo com a substituição:
Quando :
Quando :
Então, os novos limites são de 0 a 20.

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:

Passo 7

A gente também tem o valor dessa integral no enunciado:
Então, substituindo:

Passo 8

Agora, juntando tudo:

Resposta

O valor da integral é .

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No início da década de 1990, um petroleiro colidiu com um barco da Guarda Costeira na costa da Califórnia. O petroleiro desativado estava derramando óleo do casco danificado. A taxa de fluxo de petróleo no Oceano Pacífico, na costa da Califórnia, foi medida em vários intervalos de tempo diferentes no terceiro dia após o acidente. As taxas estão listadas na tabela abaixo. (Esses são dados hipotéticos.)
Tempo 21 h 22 h 23 h 24 h 1 h 2 h 3 h 4 h 5 h 6 h 7 h
Quantidade (100 gal/hora) 4,0 4,0 3,8 3,6 3,0 2,0 0,6 0,3 0,1 0,1 0,0
Estime a quantidade total de óleo derramado durante o período de dez horas coberto pela tabela. O que você pode dizer sobre o erro envolvido em sua estimativa?
Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro é dado.
Calcule
Calcule