Calcule pela definição a derivada das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular, pela definição, a derivada da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, uma parte da matemática que estuda como as funções mudam. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação da função em qualquer ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite quando se aproxima de zero da diferença entre e , dividida por .

Passo 3

Agora, vamos substituir a função na definição da derivada. Primeiro, calculamos :
Vamos expandir esse quadrado:

Passo 4

Em seguida, calculamos a diferença :

Passo 5

Agora, dividimos essa diferença por :

Passo 6

Finalmente, aplicamos o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada da função é .

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Sejam as funções , v e w, deriváveis. Mostre que: .
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