Usando a regra da cadeia e as propriedades, calcule as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função . Isso faz parte do estudo do cálculo diferencial, mais especificamente usando a regra do produto e a regra da cadeia para derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e como aplicar essas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que nossa função é o produto de duas funções: e . Para derivar o produto de duas funções, usamos a regra do produto, que diz que .

Passo 3

Vamos calcular . Sabemos que a derivada de é pela regra da cadeia. Então, para :

Passo 4

Agora, vamos calcular . A derivada de é também pela regra da cadeia. Então, para :

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Substituindo , , e :

Passo 6

Podemos simplificar um pouco mais se quisermos, mas essa é a forma geral da derivada. Então, resumindo:

Resposta

A derivada da função é:

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Sejam as funções , v e w, deriváveis. Mostre que: .
Usando a regra da cadeia e as propriedades, calcule as derivadas das seguintes funções:
Calcule pela definição a derivada das seguintes funções:
Usando a regra da cadeia e as propriedades, calcule as derivadas das seguintes funções: