Sejam as funções
, v e w, deriváveis. Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a derivada da função
é igual a
. Isso envolve o Regra do Produto, que nos ajuda a derivar funções que são produtos de duas ou mais funções. Vamos precisar aplicar essa regra passo a passo para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto para Duas Funções. Se temos duas funções,
e
, a derivada do produto delas é:
Isso significa que a derivada do produto é a derivada da primeira função multiplicada pela segunda, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.
Passo 3
Agora, como temos três funções multiplicadas (
), podemos aplicar a regra do produto duas vezes. Primeiro, vamos considerar
como uma única função e depois multiplicar por
.
Então, definimos:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Precisamos calcular
, que é a derivada de
. Usando a regra do produto novamente para
e
:
Agora, substituímos
na expressão anterior:
Passo 5
Vamos distribuir
na primeira parte da expressão:
Pronto! Mostramos que a derivada de
é de fato
.
Resposta
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