Sejam as funções , v e w, deriváveis. Mostre que: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a derivada da função é igual a . Isso envolve o Regra do Produto, que nos ajuda a derivar funções que são produtos de duas ou mais funções. Vamos precisar aplicar essa regra passo a passo para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto para Duas Funções. Se temos duas funções, e , a derivada do produto delas é:
Isso significa que a derivada do produto é a derivada da primeira função multiplicada pela segunda, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Agora, como temos três funções multiplicadas ( ), podemos aplicar a regra do produto duas vezes. Primeiro, vamos considerar como uma única função e depois multiplicar por .
Então, definimos:
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Precisamos calcular , que é a derivada de . Usando a regra do produto novamente para e :
Agora, substituímos na expressão anterior:

Passo 5

Vamos distribuir na primeira parte da expressão:
Pronto! Mostramos que a derivada de é de fato .

Resposta

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