Calcule pela definição a derivada das seguintes funções:

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a derivada da função usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre como encontrar a taxa de variação de uma função. Para isso, vamos precisar entender e aplicar a definição de derivada, que é a base para calcular a derivada de qualquer função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite:
Isso significa que a derivada representa a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Substituindo na fórmula da derivada:

Passo 4

A gente consegue simplificar usando propriedades de potências:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos fatorar que é comum nos dois termos do numerador:

Passo 6

Como não depende de , a gente pode tirá-lo de fora do limite:

Passo 7

A parte que falta agora é calcular o limite . Esse limite é conhecido e resulta no logaritmo natural da base da exponencial, então:

Passo 8

Substituindo o valor do limite na expressão da derivada:

Resposta

A derivada da função é:

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