Calcule pela definição a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a derivada da função
usando a definição de derivada. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre como encontrar a taxa de variação de uma função. Para isso, vamos precisar entender e aplicar a definição de derivada, que é a base para calcular a derivada de qualquer função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite:
Isso significa que a derivada representa a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
. Substituindo na fórmula da derivada:
Passo 4
A gente consegue simplificar
usando propriedades de potências:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos fatorar
que é comum nos dois termos do numerador:
Passo 6
Como
não depende de
, a gente pode tirá-lo de fora do limite:
Passo 7
A parte que falta agora é calcular o limite
. Esse limite é conhecido e resulta no logaritmo natural da base da exponencial, então:
Passo 8
Substituindo o valor do limite na expressão da derivada:
Resposta
A derivada da função
é:
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, com
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