Seja uma função horária das posições dadas pela função , com em metros e t em segundos. Determine: b) a velocidade no instante 2 s .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a posição de algo ao longo do tempo: . Aqui, está em metros e em segundos. O que a gente precisa descobrir é qual é a velocidade desse objeto exatamente no instante de 2 segundos. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que é uma ferramenta da matemática (cálculo) que nos ajuda a encontrar taxas de variação, como a velocidade a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Em termos matemáticos, isso significa que a velocidade é a derivada da função posição em relação a . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. A derivada de é (usando a regra do poder: se , então ).
  2. A derivada de é (a derivada de , onde é constante, é só ).
  3. A derivada de é (constantes desaparecem na derivada).
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade , vamos encontrar a velocidade no instante segundos. Basta substituir por 2 na equação:

Resposta

A velocidade no instante 2 segundos é de 7 metros por segundo.

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