Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto indicado:
e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função no ponto . Isso envolve usar a definição de derivada, que é a base para entender como uma função muda em um ponto específico.

Passo 2

A definição de derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite do quociente das diferenças das funções conforme se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos substituir na fórmula. Para e :

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. :
  1. Substituindo na expressão:

Passo 5

Dividindo pelo :

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

Exercícios relacionados

Para cada função abaixo, calcule a sua função derivada , nos pontos em que for possível (exiba e ). O domínio é em todos os exemplos abaixo.
Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos , e onde é um ponto onde não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador ou ou do grau do denominador.
(Calcule para , e onde a função não é definida)
Sejam e um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Sejam e um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…