Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto
indicado:
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função
no ponto
. Isso envolve usar a definição de derivada, que é a base para entender como uma função muda em um ponto específico.
Passo 2
A definição de derivada de uma função
em um ponto
é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite do quociente das diferenças das funções conforme
se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula. Para
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte:
-
:
- Substituindo na expressão:
Passo 5
Dividindo pelo
:
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Para cada função
abaixo, calcule a sua função derivada
, nos pontos em que for possível (exiba
e
). O domínio é
em todos os exemplos abaixo.
Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos
, e
onde
é um ponto onde
não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador
ou
ou
do grau do denominador.
(Calcule para
, e
onde a função não é definida)
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…