Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto x_0 indicado:
f(x) = x^4 + 1 e x0 = -1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função no ponto . Isso envolve usar a definição de derivada, que é a base para entender como uma função muda em um ponto específico.

Passo 2

A definição de derivada de uma função em um ponto é dada por:
Isso significa que vamos calcular o limite do quociente das diferenças das funções conforme se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos substituir na fórmula. Para e :

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte:
  1. :
  1. Substituindo na expressão:

Passo 5

Dividindo pelo :

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando tende a 0:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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