Sejam f, g: R R e a in R um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma f(x)+g(x) no ponto x0 :
(f+g)^prime(x0)=f^prime(x0)+g^prime(x0)
(b) Derivada da função a f(x) :
(a f)^prime(x0)=a f^prime(x0)
© Derivada do produto f(x) g(x) no ponto x0 :
(f g)^prime(x0)=f(x0) g^prime(x0)+f^prime(x0) g(x0)
(d) Derivada do quociente f(x) / g(x) no ponto x0 :
(f / g)^prime(x0)=g(x0) f^prime(x0)-f(x0) g^prime(x0)g(x0)^2
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se f(x)=sen(x), temos f^prime(x0)=cos (x0);
(b) se f(x)=cos (x), temos f^prime(x0)=-sen(x0);
© se f(x)=tg(x) (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
f(x)=x^2+1x+1x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função .
Aqui, vamos usar algumas regras de derivação que você já viu:
  1. Regra da soma: A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  2. Regra do quociente: Para derivar uma fração, usamos a fórmula específica.
  3. Derivadas de funções básicas: Como e .
Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Observe que:
x^2 + 1x = x^2x + 1x = x + 1x
Então, a função f(x) = x + 1x + 1x^2 fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente usando a Regra da soma. A derivada de f'(x) = ddx(x) + ddx(1x) + ddx(1x^2) será a soma das derivadas de cada termo:

Passo 4

Vamos derivar cada parte:
  1. Derivada de ddx(x) = 1 :
    ddx(1x) = -1x^2
    A derivada de ddx(x^-1) = -1 cdot x^-2 = -1x^2 é 1 porque a inclinação da reta ddx(1x^2) = -2x^3 é constante.
  2. Derivada de ddx(x^-2) = -2 cdot x^-3 = -2x^3 :
    Aqui, usamos a regra da potência. Lembre-se que , então aplicando a regra da potência:
  3. Derivada de :
    Novamente, usando a regra da potência :

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as derivadas que calculamos:
f'(x) = 1 + (-1x^2) + (-2x^3)
Simplificando:
f'(x) = 1 - 1x^2 - 2x^3

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 1 - 1x^2 - 2x^3

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