Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos
, e
onde
é um ponto onde
não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador
ou
ou
do grau do denominador.
(Calcule para
, e
onde a função não é definida)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite da função
para três situações diferentes: quando
vai para
, para
e para
, onde a função não está definida. Para isso, vamos usar os conceitos de limites no infinito e analisar o comportamento dos polinômios no numerador e denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando
tende a
. Nesse caso, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de primeiro grau (grau 1). Quando os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos ver o limite quando
tende a
. O raciocínio é o mesmo que para
, já que os termos de maior grau dominam o comportamento da função, independente se
vai para positivo ou negativo infinito.
Portanto:
Passo 4
Por fim, vamos calcular o limite quando
se aproxima de
, ponto onde a função não está definida porque o denominador se torna zero:
Para analisar esse limite, precisamos verificar os limites laterais, ou seja, quando
se aproxima de
pela direita (
) e pela esquerda (
).
Vamos calcular:
Substituindo
por valores próximos de
pela direita, o denominador fica positivo e tende a zero, então o limite vai para
.
Da mesma forma:
Substituindo
por valores próximos de
pela esquerda, o denominador fica negativo e tende a zero, então o limite vai para
.
Resposta
Os limites são:
Exercícios relacionados
As funções abaixo são definidas de
para
. Encontre os seguintes limites:
As funções abaixo são definidas de
para
. Encontre os seguintes limites:
Para cada função
abaixo, calcule a sua função derivada
, nos pontos em que for possível (exiba
e
). O domínio é
em todos os exemplos abaixo.
Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto
indicado:
e