Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos , e onde é um ponto onde não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador ou ou do grau do denominador.
(Calcule para , e onde a função não é definida)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da função para três situações diferentes: quando vai para , para e para , onde a função não está definida. Para isso, vamos usar os conceitos de limites no infinito e analisar o comportamento dos polinômios no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando tende a . Nesse caso, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de primeiro grau (grau 1). Quando os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos ver o limite quando tende a . O raciocínio é o mesmo que para , já que os termos de maior grau dominam o comportamento da função, independente se vai para positivo ou negativo infinito.
Portanto:

Passo 4

Por fim, vamos calcular o limite quando se aproxima de , ponto onde a função não está definida porque o denominador se torna zero:
Para analisar esse limite, precisamos verificar os limites laterais, ou seja, quando se aproxima de pela direita ( ) e pela esquerda ( ).
Vamos calcular:
Substituindo por valores próximos de pela direita, o denominador fica positivo e tende a zero, então o limite vai para .
Da mesma forma:
Substituindo por valores próximos de pela esquerda, o denominador fica negativo e tende a zero, então o limite vai para .

Resposta

Os limites são:

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As funções abaixo são definidas de para . Encontre os seguintes limites:
As funções abaixo são definidas de para . Encontre os seguintes limites:
Para cada função abaixo, calcule a sua função derivada , nos pontos em que for possível (exiba e ). O domínio é em todos os exemplos abaixo.
Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto indicado:
e