Calcule os seguintes limites, se existirem, nos casos x infty, x -infty, e x a onde a é um ponto onde f(x) não é definida. Note que em alguns exemplos temos que considerar os casos: grau do numerador < ou = ou > do grau do denominador.
lim 8 x-15 x+2 (Calcule para x infty, x -infty, e x -2 / 5 onde a função não é definida)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da função para três situações diferentes: quando vai para , para e para , onde a função não está definida. Para isso, vamos usar os conceitos de limites no infinito e analisar o comportamento dos polinômios no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando limx to +infty 8x - 15x + 2 = 85 tende a . Nesse caso, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de primeiro grau (grau 1). Quando os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos ver o limite quando limx to -infty 8x - 15x + 2 = 85 tende a . O raciocínio é o mesmo que para , já que os termos de maior grau dominam o comportamento da função, independente se vai para positivo ou negativo infinito.
Portanto:

Passo 4

Por fim, vamos calcular o limite quando 5x + 2 = 0 Rightarrow x = -25 se aproxima de limx to -25^+ 8x - 15x + 2 , ponto onde a função não está definida porque o denominador se torna zero:
limx to -25^- 8x - 15x + 2
Para analisar esse limite, precisamos verificar os limites laterais, ou seja, quando se aproxima de pela direita ( ) e pela esquerda ( ).
Vamos calcular:
Substituindo por valores próximos de pela direita, o denominador fica positivo e tende a zero, então o limite vai para .
Da mesma forma:
Substituindo por valores próximos de pela esquerda, o denominador fica negativo e tende a zero, então o limite vai para .

Resposta

Os limites são:
limx to +infty 8x - 15x + 2 = 85
limx to -infty 8x - 15x + 2 = 85
limx to -25 8x - 15x + 2 = +infty & quando x to -25^+ -infty & quando x to -25^-

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