Sejam e um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função no ponto . Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções trigonométricas e vamos usar a regra do produto para encontrar essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função como o produto de duas funções iguais:
Isso vai facilitar o uso da regra do produto para derivar a função.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de é:
Nesse caso, e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de e . Sabemos que:
Essa é a derivada da função cosseno.

Passo 5

Substituindo na regra do produto:
Simplificando:

Passo 6

Temos também uma identidade trigonométrica que diz que:
Portanto, podemos escrever a derivada como:

Passo 7

Agora, precisamos calcular . Substituindo na derivada:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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Sejam e um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto :
(b) Derivada da função :
© Derivada do produto no ponto :
(d) Derivada do quociente no ponto :
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos ;
(b) se , temos ;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto indicado:
e
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.