Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma
no ponto
:
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se
, temos
;
(b) se
, temos
;
© se
(exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
(a) Derivada da soma
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função
no ponto
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções trigonométricas e vamos usar a regra do produto para encontrar essa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
como o produto de duas funções iguais:
Isso vai facilitar o uso da regra do produto para derivar a função.
Passo 3
Agora, aplicamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de
é:
Nesse caso,
e
.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de
e
. Sabemos que:
Essa é a derivada da função cosseno.
Passo 5
Substituindo na regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Temos também uma identidade trigonométrica que diz que:
Portanto, podemos escrever a derivada como:
Passo 7
Agora, precisamos calcular
. Substituindo
na derivada:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma no ponto
:
(a) Derivada da soma
(b) Derivada da função
:
© Derivada do produto
no ponto
:
(d) Derivada do quociente
no ponto
:
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se , temos
;
(b) se , temos
;
© se (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
(a) se
(b) se
© se
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
Calcule, pela definição, as derivadas das seguintes funções no ponto
indicado:
e
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.