Sejam f, g: R R e a in R um constante. Temos as seguintes regras para calcular derivadas.
(a) Derivada da soma f(x)+g(x) no ponto x0 :
(f+g)^prime(x0)=f^prime(x0)+g^prime(x0)
(b) Derivada da função a f(x) :
(a f)^prime(x0)=a f^prime(x0)
© Derivada do produto f(x) g(x) no ponto x0 :
(f g)^prime(x0)=f(x0) g^prime(x0)+f^prime(x0) g(x0)
(d) Derivada do quociente f(x) / g(x) no ponto x0 :
(f / g)^prime(x0)=g(x0) f^prime(x0)-f(x0) g^prime(x0)g(x0)^2
Temos as seguintes derivadas das funções trigonométricas:
(a) se f(x)=sen(x), temos f^prime(x0)=cos (x0);
(b) se f(x)=cos (x), temos f^prime(x0)=-sen(x0);
© se f(x)=tg(x) (exercício abaixo).
Use as regras para calcular as derivadas das seguintes funções se existem…
f(x)=(cos (x))^2, x0=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função no ponto . Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções trigonométricas e vamos usar a regra do produto para encontrar essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x) = cos(x) cdot cos(x) como o produto de duas funções iguais:
Isso vai facilitar o uso da regra do produto para derivar a função.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do produto, que nos diz que a derivada de f'(x) = g'(x) cdot h(x) + g(x) cdot h'(x) é:
Nesse caso, e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de g'(x) = h'(x) = -sin(x) e . Sabemos que:
Essa é a derivada da função cosseno.

Passo 5

Substituindo na regra do produto:
f'(x) = (-sin(x)) cdot cos(x) + cos(x) cdot (-sin(x))
Simplificando:
f'(x) = -sin(x)cos(x) - sin(x)cos(x) = -2sin(x)cos(x)

Passo 6

Temos também uma identidade trigonométrica que diz que:
sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
Portanto, podemos escrever a derivada como:
f'(x) = -sin(2x)

Passo 7

Agora, precisamos calcular f'(0) = -sin(2 cdot 0) = -sin(0) = 0 . Substituindo na derivada:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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